Komplexe Zahlen Additiontheoreme für Wurzeln

Neue Frage »

Lisa223 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Additiontheoreme für Wurzeln
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei Wurzeln aus komplexen Zahlen zu bestimmen. Für Gleichungen der Form z^n=1, also Einheitswurzeln, ist mir der Beweis klar. Allerdings hapert es nun bei der Verallgemeinerung, wenn wir eine Gleichung c^n=a betrachten.
Im Groben ist mir der Beweis klar, allerdings ist im Skript ein Schritt zu finden, den ich leider nicht nachvollziehen kann.
Es handelt sich um Folgendes:

LaTeX-Tags korrigiert. Steffen
Nachvollziehbar soll der Schritt mittels der Additionstheoreme sein.

Meine Ideen:
So, nun habe ich mich damit mal befasst. Allerdings bin ich nun immer noch nicht schlauer...
Bin zwar öfter mal auf folgende Formel gestoßen: sin(2x)=2sin(x)*cos(x), allerdings bringt die mich auch nicht wirklich weiter. Selbst wenn ich mein n in Verbindung zur 2 hier stelle, komme ich auf was ganz anderes unglücklich

Eine kleine Hilfestellung in die richtige Richtung wäre wirklich sehr nett.
Vielen Dank!
LG Lisa
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen Additiontheoreme für Wurzeln
Hallo Lisa,

Du benötigst also letztlich:

Das siehst Du, wenn Du die Identitäten und nimmst, sie in die linke Seite einsetzt und schließlich die Additionstheoreme anwendest.

Diese Gleichung findest Du zum Beispiel auch hier: klick

Gruß
Reksilat
Lisa223 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Reksilat,
vielen Dank für deine Hilfe!

Ich habe das ganze eben mal für cos x- cos y und sin x -sin y durchgerechnet und auch verstanden. Einfach die Additionstheoreme aus dem von dir genannten Artikel anwenden und ein Teil fällt weg, der andere tritt doppelt auf.

Welche Sache mir nun aber immer noch nicht klar ist: Woher kommen die Identitäten? Steh ich grad total auf dem Schlauch?!

LG Lisa
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen Additiontheoreme für Wurzeln
Ich habe doch oben schon beschrieben, wie Du zum Beispiel die von Dir benötigte Identität aus den Additionstheoremen ableitest:

Zitat:
Das siehst Du, wenn Du und nimmst, sie in die linke Seite (also ) einsetzt und schließlich die Additionstheoreme anwendest.


Gruß
Reksilat
Lisa223 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
das ist mir ja klar, oben habe ich dazu auch mein Vorgehen geschildert.
Woher aber kommt die Annahme, dass

gilt?
LG
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, dann hatte ich Dich falsch verstanden.

Dass die Identität gilt, ergibt sich durch direktes Nachrechnen - das ist keine Annahme.

Und wie man auf den Ansatz kommt? Ist wahrscheinlich Erfahrung und Intuition. Wenn man diese Zerlegung ein paar Mal gesehen hat, wird sie einem bei Bedarf auch wieder einfallen.
 
 
Lisa223 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, dann muss ich das jetzt also einfach so hinnehmen, dass x eben so definiert wurde?^^
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wurde nicht definiert. Die Gleichung gilt für alle .
Lisa223 Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum gilt die immer? Woher kommt die?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm den Ausdruck und fange an zusammenzufassen und zu vereinfachen (so wie in der Schule). Dann kommt am Ende raus.
Lisa223 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, jetzt ist es klar Hammer , man muss halt erst mal auf die Idee kommen, das so zu machen...
Vielen lieben Dank für deine Hilfe Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »