Einheitskugel Definitionsbereich |
24.09.2013, 17:53 | Krumpi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Einheitskugel Definitionsbereich Hi, ich bin etwas verunsichert mit der Aufgabe hier: Der Körper soll der Einheitsball sein und das Volumen von K soll berechnet werden. Meine Frage: Wo ist jetzt hier der Unterschied zur Berechnung des normalen Einheitskugelvolumens? Der Definitionsbereich von z irritiert mich. Muss ich da irgendwas anderes machen, als in Kugelkoordination transformieren und integrieren? Meine Ideen: Ich hätte Kugelkoordinaten eingeführt, dann integriert: LaTeX-End-Tags korrigiert. Steffen |
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24.09.2013, 18:04 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Einheitskugel Definitionsbereich
Das ist nicht der Einheitsball. Das ist überhaupt keine Kugel... Soll der Einheitsball sein? Hast du auch eine Vorstellung davon, wie aussieht?
Funktionen haben einen Definitionsbereich – nicht so Variablen wie .
Auch wenn du das Volumen der Einheistkugel berechnen solltest, wären hier die Integrationsgrenzen falsch. |
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24.09.2013, 18:32 | Krumpi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Einheitskugel Definitionsbereich
Also wenn K auf dem Einheitsball ist, dann schneidet z im Prinzip die Polkappen beim Betrag 1/2 ab, oder? [/quote] Auch wenn du das Volumen der Einheistkugel berechnen solltest, wären hier die Integrationsgrenzen falsch.[/quote] Meinst du die von theta? |
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24.09.2013, 18:36 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Einheitskugel Definitionsbereich
Naja, das klingt, als könntest du es dir vorstellen. Nun könntest du das Volumen dieser abgeschnittenen Teile berechnen und es vom Kugelvolumen abziehen. Wenn ihr aber die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises benutzen dürft, würde ich direkt den Satz von Fubini verwenden: wobei die (von mir aus abgeschlossene) Kreisscheibe um Null mit Radius ist.
Und die von . |
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25.09.2013, 19:45 | Krumpi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Einheitskugel Definitionsbereich
Irgendwie läuft das immer noch schief: |
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25.09.2013, 19:49 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Einheitskugel Definitionsbereich Das Integral ist einfach die Fläche des Kreises mit Radius . Wobei mir aber auffällt, dass es eigentlich heißen sollte. Naja, welchen Flächeninhalt hat denn ? |
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25.09.2013, 20:05 | Krumpi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Einheitskugel Definitionsbereich
Das sollte dann wie beim Kreis mit Fläche hier also sein...? |
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25.09.2013, 20:07 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Einheitskugel Definitionsbereich Ja, genau. (ist allerdings nicht nur wie beim Kreis, es handelt sich tatsächlich um eine Kreisfläche. Du hast also Den Rest schaffst du sicher selbst. Wenn du möchtest kannst du noch kurz das Intervall durch ersetzen, um zu sehen, ob dann auch wirklich das Volumen der Einheitskugel herauskommt. Hast du auch verstanden, wie ich den Satz von Fubini benutzt habe? |
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25.09.2013, 21:05 | Krumpi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Einheitskugel Definitionsbereich Jetzt hab ich . Mit den ersetzten Grenzen von kommt dann auch das Volumen der Einheitskugel raus
Also, Fubini sagt ja was über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge aus. Wo hast du denn die Integrationsreihenfolge für x und y vertauscht? Indem zuerst über die Kreisfläche und dann über den z-Abschnitt integriert wird (und x und y letztendlich in der Kreisscheibe mit drin sind)? Noch was, wenn ich nur die Polkappen berechnen wollte, könnte ich ja jetzt einfach die berechnete Scheibe vom Gesamtvolumen abziehen, richtig? |
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25.09.2013, 21:36 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Einheitskugel Definitionsbereich
Das brauche ich wohl nicht zu überprüfen.
Hm, vielleicht bezeichnest du das, was ich meine, lieber als eine Darstellung des Produktmaßes. Wie in der Formel mit Integralen auf diesem Wikipedia-Eintrag.
Ja. (besser: "das Volumen der Polkappen" und "das berechnete Volumen der Scheibe", wobei Scheibe wohl auch nicht ganz passend ist)) |
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26.09.2013, 14:37 | Krumpi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Einheitskugel Definitionsbereich Super, vielen vielen Dank erstmal insbesondere auch für deine Fragen
Die Produktmaß-Erklärung ist recht abstrakt, vor allem weil bei der Kreisfläche noch die Transformation mit dazukommt. Ich hab versucht meinen Gedanken in ne Formel zu packen (die wahrscheinlich mathematisch mal wieder Haare zu Berge stehen lässt...). |
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26.09.2013, 14:39 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jetzt hast du wieder die Grenzen vertauscht. Und der Radius der Kreise hängt von ab. Eigentlich dachte ich aber, dass du die Flächeninhaltsformel für Kreise einfach voraussetzen könntest. |
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26.09.2013, 14:53 | Krumpi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ging mir nur noch drum, zu verstehen, was du mit Fubini bzw. dem Produktmaß meintest. Du hast schon Recht, die Flächeninhaltsformel darf vorausgesetzt werden. |
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26.09.2013, 15:00 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann betrachte mal als Teilmenge von und setze für . Dann ist Das ist die Darstellung des Produktmaßes. Da nur für nichtleer ist, ist das Integral außerdem gleich Dann stellt man noch fest. |
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