Zwischenschritt Äquivalenz

24.09.2013, 18:20

Nighel123

Zwischenschritt Äquivalenz

Hallo,

Sei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein beliebiges Intervall.

wie kann ich bei der Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} y=f(x) \,\, \text{mit} \,\, x \in \cup_{i \in I} A_i :=\left\{z \in Y | \exists l \in I \,\, mit \,\, z \in A_l \right\} \Longleftrightarrow y=f(x), x \in A_j \, ,\ j \in I \end{eqnarray*}$

noch einen Zwischenschritt einbauen?

24.09.2013, 18:42

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zwischenschritt Äquivalenz
sehe nicht warum es da noch einen "zwischenschritt" geben sollte. du könntest allenfalls noch etwas präziser in den aussagen werden.
lg

24.09.2013, 20:51

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zwischenschritt Äquivalenz
ich finde nur, dass das hier

$\begin{eqnarray*} y=f(x) : x \in \left\{z \in Y | \exists \ l \in I \,\, mit \,\, z \in A_l \right\} \end{eqnarray*}$

noch relativ unübersichtlich ist. Kann ich das nicht einfacher machen zu

$\begin{eqnarray*} y=f(x) : (\, x \in Y \wedge \exists \ l \in I : x \in A_l \, ) \end{eqnarray*}$

aber das müsste man ja jetzt wieder Quantorenmäßig beweisen und das scheint mir doch dann sehr aufwendig

ansonsten mit präzisier darstellen meinst du das:?

Sei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein beliebiges Intervall und $\begin{eqnarray*} A_i \subset Y \ \ \forall i \in I \end{eqnarray*}$

so gilt

$\begin{eqnarray*} ( \ y=f(x) : x \in \left\{z \in Y | \exists \ l \in I \,\, mit \,\, z \in A_l \right\} \ ) \Longleftrightarrow \ ( y=f(x): x \in A_j \, : j \in I \ ) \end{eqnarray*}$

24.09.2013, 21:57

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zwischenschritt Äquivalenz
die übliche mengennotation ist $\begin{eqnarray*} \{ x\in X | \text{Aussage}(x)\} \end{eqnarray*}$ , wobei X irgendeine gegebene grundmenge ist, und die entsprechende aussage auf ganz X definiert ist. dann ist ein element y genau dann in dieser menge, wenn Aussage(y) gilt - was im prinzip genau das ist, was du am anfang geschrieben hast.

Zitat:

ich finde nur, dass das hier $\begin{eqnarray*} y=f(x) : x \in \left\{z \in Y | \exists \ l \in I \,\, mit \,\, z \in A_l \right\} \end{eqnarray*}$ noch relativ unübersichtlich ist. Kann ich das nicht einfacher machen zu $\begin{eqnarray*} y=f(x) : (\, x \in Y \wedge \exists \ l \in I : x \in A_l \, ) \end{eqnarray*}$

nene, so schreibt man das nicht - " ( ) " werden erstmal nicht als mengenklammern genommen; was darin steht kann man aber als das gleiche ansehen wie inn der schreibweise darüber - es ist aber weder übersichtlicher noch formal richtig(er).
keine ahnung was du da "quantorenmäßig" beweisen willst..

mit "präziser in den aussagen" meine ich das:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ( \ y=f(x) : x \in \left\{z \in Y | \exists \ l \in I \,\, mit \,\, z \in A_l \right\} \ ) \Longleftrightarrow \ ( y=f(x): x \in A_j \, : j \in I \ ) \end{eqnarray*}$

das schreibt man nicht so, doppelpunkte schreibt man in logischen formeln nur nach quantoren (also z.b. $\begin{eqnarray*} \exists x\in X : A(x) \end{eqnarray*}$ ), hier würden sie eher für das wort "mit"/"wobei" stehen (und das "mit" bei dir sollte eher ":" sein).
wenn man dann sowas wie $\begin{eqnarray*} y=f(x)\quad\text{mit}\quad x\in M \end{eqnarray*}$ schreibt, meint man damit eigentlich $\begin{eqnarray*} \exists x\in M : y=f(x) \end{eqnarray*}$ .
damit würde ddas ganze ding etwas anders aussehen.

lg

24.09.2013, 22:18

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zwischenschritt Äquivalenz
also in mini kleinen schritten könnte man das so machen?:

$\begin{eqnarray*} (y=f(x) \ \text{wobei} \ x \in \left\{z \in Y : \exists l \in I : z \in A_l \right\}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y=f(x) \ \text{wobei} \ x \in Y : \exists j \in I : x \in A_j ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y=f(x) \ \text{wobei} \ \exists j \in I : x \in A_j ) \end{eqnarray*}$

formal richtig?

kann man denn irgendwie kenntlich machen worauf sich der doppelpunkt bezieht?

Also zum Beispiel bei $\begin{eqnarray*} \ x \in Y : \exists j \in I : x \in A_j \end{eqnarray*}$

kann ich da nicht sowas schreiben $\begin{eqnarray*} \ x \in Y : (\exists j \in I : x \in A_j) \end{eqnarray*}$ ? Um zu zeigen, dass das der erste Doppelpunkt für den ganzen Ausdruck dahinter gilt? Oder ist das Konventionsmäßig so?

24.09.2013, 22:43

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zwischenschritt Äquivalenz
zum 1. teil:
im zweiten schritt soll es eher $\begin{eqnarray*} x\in Y\wedge \exists j\in I : x\in A_j \end{eqnarray*}$ , wobei man die zugehörigkeit von x zur grundmenge Y meistens einfach weglässt, wenn man sich sowieso nur über elemente aus Y unterhält, die zugehörigkeit also durch den kontext schon gegeben ist.

zu der doppelpunkt-sache:
wie gesagt ist der erste hier fehl am platz. deine frage überträgt sich aber auf fälle der art: $\begin{eqnarray*} \exists x : \forall y : A(x,y) \end{eqnarray*}$ . natürlich gehören in zusammengesetzten aussagen um jede teilaussage klammern, die man weglässt, wenn keine verwechslungsgefahr besteht, oder wie du sagst irgendwelche entsprechenden konventionen gemacht sind. in diesem fall besteht keine verwechslungsgefahr - es würde genauer $\begin{eqnarray*} \exists x : (\forall y : A(x,y)) \end{eqnarray*}$ heißen, aber $\begin{eqnarray*} (\exists x : \forall y ): A(x,y) \end{eqnarray*}$ würde ja auch keinen sinn ergeben (weil nach einen quantoren gehört eine aussage (über die im quantor gebundene variable), " $\begin{eqnarray*} \forall y \end{eqnarray*}$ " ist keine).

lg

24.09.2013, 22:56

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zwischenschritt Äquivalenz
Hmm hab die Schreibweise so ausm Otto Forster so übernommen (siehe Anhang)

der macht das irgendwie genau umgekehrt

wenn man da jetzt das "mit" mit einem ":" ersetzt kommt man auf meine Frage. Aber die is ja dann auch beantwortet! Vielen Dank!

24.09.2013, 23:36

weisbrot

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zwischenschritt Äquivalenz
achso. ja, das ist eine andere mengenschreibweise - in meiner ersten antwort habe ich da (statt des doppelpunkts) ein "|" - das ist also sozusagen ein anderer doppelpunkt; der trennt in der mengennotation die (links) grundmenge, von der, die menge definierenden, aussage (rechts).
hoffe damit ists klar.
lg

Neue Frage »

Antworten »

Zwischenschritt Äquivalenz

Verwandte Themen