Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

24.09.2013, 22:10	Mikhail	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix Guten Abend allerseits. Ich berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix: 3 5 0 1 3 2 0 2 3 Die Eigenwerte die ich rausbekam sind: 0, 3, 6 Die Eigenvektoren sind: zu 0: alpha(5, -3, 2) zu 3: alpha(2, 0, 1) zu 6: alpha(5, 3, 2) Und jetzt die eigentlichen Fragen: Es gibt 2 Methoden um die Eigenvektoren aus Eigenwerten rauszukriegen: 1. Meiner Meinung nach extrem unständliche Methode wo man ein Gleichungssystem aufstellt und durch Gauß-Eliminationsverfahren x1, x2, x3 ausrechnet. 2. Diese Methode habe ich gerade erst entdeckt. Man Bildet einfach ein Kreuzprodukt aus 2 beliebigen Zeilen und schon hat man den Eigenvektor. Meine Frage ist: ist diese Methode (Nr. 2) immer ohne Einschränkungen anwendbar? Gilt sie immer? Mit der ersten Methode bekomme ich z.b. alpha(5, 3, 2) mit der zweiten Methode alpha(10, 6, 4) Ist es egal, weil das Alpha ja davorsteht? Die Richtung des Eigenvektors ist entscheidend, oder nicht? Ich frage nur weil ich in der Klausur vorhabe die zweite Methode anzuwenden. Hoffentlich gibt es da keinen Punkteabzug. Die Aufgabe lautet einfach Eigenvektoren zu finden. Ich bin für jeden Tipp dankbar und wünsche alles Gute.
24.09.2013, 22:58	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Trenn Dich ganz schnell von der Idee einen einfacheren Weg gefunden zu haben, den zig Mathematiker vor Dir nicht kannten. Mit der von Dir beschriebenen Methode erhältst Du einen Vektor, der auf die beiden gewählten Zeilen senkrecht steht. Bei einer 3x3-Matrix ergibt sich somit als Bild das Vielfache eines Einheitsvektors. Mit einem Eigenvektor hat das aber nichts zu tun und daher ist es ein großer Zufall, wenn sich dabei einer ergibt.
24.09.2013, 23:16	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zweite Methode funktioniert nur wenn es sich um eine 3x3-Matrix handelt und der betrachtete Eigenwert eine algebraische Vielfachheit von 1 hat, weiterhin müssen die beiden gewählten Zeilen natürlich linear unabhängig sein. Ob du für diesen Trick Punktabzug bekommst, können wir dir nicht beantworten. Die Skalierung deiner Eigenvektoren spielt keine Rolle.
25.09.2013, 03:29	Mikhail	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mit dem Eigenwert 0 hat es auch geklappt. Ist es egal ob der Eigenvektor Alpha(2, 3, 4) oder Alpha(4, 6, 8) lautet? Ist es in dem Sinne ein und der selbe Eigenvektor?
25.09.2013, 11:08	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Eigenwert 0 besitzt auch eine algebraische Vielfachheit von 1. Wenn ein Eigenwert eine mehrfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, dann funktioniert das Verfahren nicht mehr. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sind natürlich nicht die selben Eigenvektoren. Aber es geht doch um alle Eigenvektoren zu einem Eigenwert und ob du diese durch $\begin{eqnarray} \alpha \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \alpha \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ beschreibst macht keinen Unterschied.

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