Gruppenisomorphismus

Neue Frage »

NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenisomorphismus
Meine Frage:
Hallo , ich habe eine Frage bezüglich der Isomorphie der Gruppen. Für eine Klausuraufgabe sollen wir 10 mögliche Isomorphien aus den Gruppen (Z/nZ)^x mit n=2,...,9 (Z/nZ) mit n=2,...,15 Sn= 2,..,5 An= 2,..,5 Dn=2,..,5 und S4/A4 angeben...

Also ich habe mich überwunden und habe die Theorie fast auswendig gelernt, aber jetzt fehlt mir die Anwendung. Isomophie = bijektive Homomorphie, und auch Homomoprhie ist klar! Die Gruppen (Z/nZ) Sn sind auch klar... Und Dn hat doch 2n Elemente oder, also jeweils die Drehungen und mit den Drehungen gekoppelt die Spiegelungen? Also wenn mir jemand paar Isomorphien aus den mir bekannten Gruppen angeben könnte (vielleicht mit kurzen Erklärungen) wäre ich auch in der Lage die restlichen selbst herauszufinden.
Ich bedanke mich jetzt schon für die Antworten!

Meine Ideen:
Also ich würde jetzt sagen, dass (Z/2Z)und (Z/4Z) isomorph zueinander sind
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Zitat:
Original von NbaFan
Meine Ideen:
Also ich würde jetzt sagen, dass (Z/2Z)und (Z/4Z) isomorph zueinander sind


Du meinst wohl und oder?

Du sollst also 10 isomorphe Paare aus diesen ganzen Gruppen angeben.

Der größte Fundus liegt hier bei den Einheitengruppen. Jede dieser 8 Einheitengruppen ist zu einer anderen Gruppe aus der Liste isomorph.

Danach brauchst du ja nur noch 2, die findest du bestimmt auch ganz schnell.
 
 
NbaFan61 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Danke für die schnelle Antwort... Um ehrlich zu sein, bin ich mir gar nicht sicher was (Z/nZ)^x bedeutet... ismorphie heißt doch bijektiver Homomorphismus... also muss jedes Element von der zweiten Gruppe von genau einem Element aus der ersten Gruppe getroffen werden (unter berücksichtigung des homomorphismus)...
also Z/2Z hat doch die Elemente 2z,4z,6z.... und 2/4Z hat die elemente 4z,8z,12z ....
ich würde sagen, dass die isomoph zu einander sind...irre mich da? Wäre es vielleicht möglich, dass Sie mir paar Ergebnisse schreiben und ich versuche aus diesen dann die Logik dahinter zu verstehe? Ich wre für jede Antwort sehr dankbar!


Lieber user,

du hast dich hier im Board mit verschiedenen Accounts angemeldet. Wir bitten dich um eine Rückmeldung (an die Organisatoren), warum du mehrere Accounts angelegt hast, um Fehlleitungen in unseren Eingabemasken/Boardstruktur überarbeiten zu können.

Vielen Dank,
dein MatheBoard-Team
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
hallo,
falls tmo gerade nicht da sein sollte, übernehme ich mal kurz.
Also das mit dem ^x hast du völlig falsch verstanden, es geht hier nicht um
potenzen, sodern um die einheitengruppe, das sind die elemente ein einer gruppe, die ein multiplikatives inverses haben. Die gruppe Z/2Z hat die elemente
0 und 1, einheit davon ist nur die 1. Die gruppe Z/3Z hat die elemente 0,1 und 2, einheiten davon sind 1 und 2. Dann überleg mal weiter...
gruss ollie3
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
Irgendiwe kann ich mich nie mit meinem Passwort anmelden... habe ein 2.account aufgemacht und dieses Mal habe ich mir ein neues Passwort schicken lassen!
Naja zurück zum Thema:

Super, jetzt habe ich verstanden was diese ^x bedeutet...
also bin gerade am Lernen für meine Klausur am Samstag...
Also ich weiß, dass S3 ismorph zu D6 ist... und ich vermute, dass D4 isomoprh zu S2 wäre...
leider ist D bei meiner Aufgabenstellung nur bist 5, also darf ich D6 nicht verwenden!

Außerdem würde ich sagen, dass Z/3Z isomoprh zu A3 ist.

Also wenn meine beiden Gedanken richtig sein sollten, hätte ich jetzt 2 von 10 Isomorphismen.

Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen zu welchen Gruppen die Z/nZ ^x isomorph sein sollten... also wenn mir einer von der Gruppe ein paar Isomorphie Beispiele bringen könnte, bin ich der Meinung auch andere selbst lösen zu können.

Es wäre super, wenn ich noch vor der Klausur am Samstag morgen 10 Isomorphismen aus den vorgegebenen Gruppen hätte, weil diese vielleicht in der Klausur so abgefragt werden könnte. Nochmals vielen vielen Dank an diejenigen die sich die Mühe machen und antworten.
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus
und kann es sein, dass S4/A4 isomorph zu Z/2Z ist?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal zur Indizierung der Diedergruppe.

Manchmal wird die Diedergruppe mit Elementen genannt und manchmal .

Bei dir is definitiv letzteres der Fall, sonst würde es die ja gar nicht geben. Also ist das, was du genannt hast, eigentlich die . Und tatsächlich gilt .

sowie stimmt auch.


Aber und sind völlig verschieden. Wie viele Elemente hat denn die ?
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »

ja hast recht, ist mir jetzt auch aufgefallen und wollte es auch ändern....

also ich meinte auch S2 zu D2, richtig?

wenn ja, dann hätte ich jetzt 4 von 10, yeahhh!

Nur schade, dass ich noch tausend anderer Sachen lernen muss, weil ich zu wenig Anwendung geübt habe....

aber ich weiß es echt zu schätzen....danke!
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch gelesen, dass jede Gruppe zu Identitätsabbildung isomorph sei? Stimmt es, wenn ja wie schreibt man es auf? und ich kann mir irgendwie nichts drunter vorstellen!

Also die elemente von S3 sind ja e,d,d^2, s1,s2,s3.... und e wäre ja das neutrale element...
unter identitätsabbildung verstehe ich halt eine verknüpfung mit e, richtig?
aber wie schreibt man es denn auf?

nochmals danke
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

und sind nicht isomorph. Wie gesagt: Die haben ja eine verschiedene Anzahl an Elementen. (Wie viele denn?)

Zum letzten Post: Dass du dir darunter nichts vorstellen kannst, liegt daran, dass es totaler Quatsch ist.

Ich glaube eher, dass da sowas stand wie: Die Identitätsabbildung ist immer ein Isomorphismus einer Gruppe in sich selbst (also ein Automorphismus). Aber das tut hier gar nichts zur Sache.
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, D2 hat doch 4 Elemente.... S2 hat 3 Elemente, oder....wenns stimmt, kann es ja gar kein Isomorphismus sein....

Also das einzige Beispiel was ich gut verstanden habe ist S3 und D3...ich habe mir alle Elemente angeguckt und gesehen, dass jedes Element von der einen Gruppe als element der anderen Gruppe darstellbar ist...

tmo wäre es vielleicht möglich ein paar Isomorphie Beispiele von der Gruppe Z/nZ und Z/nZ^x anzugeben? und ich versuche diese dann zu verstehen und würde mich dann heute abend nochmal melden?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NbaFan
hmmm, D2 hat doch 4 Elemente.... S2 hat 3 Elemente, oder....
Und wie sollen die aussehen? Bitte schau nochmal genau nach, wie diese Gruppen definiert sind.
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »

also d2 = (12 12; 12 21; 12 21; 12 12)
und s2 = ( 12 12 , 12 21 und 12 21) ?

Oh Gott liege ich sogar da falsch?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit diesem Geschreibsel kann ich nichts anfangen, aber noch nicht mal die Ordnung von S2 hat gestimmt.
Beachte Wie kann man Formeln schreiben?

Bitte schlag nochmal genau nach wie due Gruppen definiert sind.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
naja, und ich gib dir mal ein paar ersehnte beispiele für die einheitengruppen:
(Z/2Z)^x bestand ja nur aus einem element, nämlich der 1, und dazu gäbe
es als isomorphe gruppe die A_2, die besteht ja auch nur aus einem element.
(Z/3Z)^x hatte ja als elemente 1 und 2, das wäre wieder isomorph zu Z/2Z,
wie man sich an der verknüpfungstafel klarmachen kann...
gruss ollie3
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank nochmal...
dann sind alle Z/nZ^x isomoprh zu den entsprechenden Z/nZ ,
also Z/9Z^x zu Z/8Z; Z/8Z^x zu Z/7Z bis Z/3Z^x zu Z/2Z; und Z/2Z^x zu A2 oder?
Und das meintest du als du gesagt hattest, das man durch diese Einheitengruppen 8 Isomoprhismen finden könnte...
nochmals Dankeschön an alle!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass deine ganzen Aussagen und Vermutungen hier völlig ohne Fundament kommen? Man hat das Gefühl du bist nur am raten.

Die Einheitengruppe von Z/nZ besteht aus den invertierbaren Elementen dieses Rings. Das sind in diesem Fall einfach nur die zu n teilerfremden Zahlen zwischen 1 und n-1.

Damit sollte es doch möglich sein, die Elemente der Einheitengruppen von z.B. Z/9Z anzugeben (die genaue Gruppenstruktur hat man dann zwar noch nicht, aber immerhin schonmal eine Ahnung, wie viele Elemente drin sind...).

"Geben sie alle zu 9 teilerfremden Zahlen zwischen 1 und 8 an" ist streng genommen ja eine Aufgabe, die man in der fünften Klasse stellen würde.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NbaFan
dann sind alle Z/nZ^x isomoprh zu den entsprechenden Z/nZ ,
also Z/9Z^x zu Z/8Z; Z/8Z^x zu Z/7Z bis Z/3Z^x zu Z/2Z; und Z/2Z^x zu A2 oder?


Das ist nun gar nicht richtig.

Die Einheitengruppe des Rings hat bekanntermaßen Elemente (Eulersche -Funktion).

Wegen ist isomorph zu einer der beiden abelschen Gruppen der Ordnung , also der zyklischen Gruppe der Ordnung oder der Kleinschen Vierergruppe. Jetzt berechne einmal die Ordnungen von und .
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß es zu schätzen, dass ihr antwortet. Zu meiner Verteidigung, ich arbeite mit dem Buch "Von den natürlichen Zahlen zu den Quoternionen" und leider werden da fast keine Beispiele gebracht, so dass ich sie mir selber googlen muss... Das einzige ausführliche Beispiel war die Gruppe mit S3 und D3, welche ich auch verstanden habe. Ich verstehe, dass so was nach einer Weile nervt, aber leider sind diese Themen nicht gang und gebe im Internet, sodass ich diese Frage (nach dem ich lange überlegt und gegoogelt habe) hier stelle.

Erst jetzt ist mir klar, dass man die Elemente von Z/nZ^x einfach mit zu n teilerfremde Zahlen bestimmen kann.

Meine Frage, damit 2 Gruppen isomorph zueinander sind müssen auf jeden Fall die Anzahl der Elemente gleich sein und welche Bedingung noch?

Ich schreibe hier nochmal die elemente von ZnZ^x auf
angefangen von 9 bis 2: ( 1,2,4,5,6,7,8) ; (1,3,5,7); (1,2,3,4,5,6); (1,5); (1,2,3,4); (1,3); (1,2) und (1).

also die bloße annahmen von Z.B. (Z/6Z)^x isomorph zu einer 2 elementigen Gruppe(z.B. Z/2Z) geht nicht, oder?
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »

Kann die Bedingung für Isomorphie sein, dass die Verknüpfungstafel dieser 2 Gruppen gleich sein müssen? Wenn ja, ist die Verknüpfung dann egal? also ich darf sowohl die + als auch * Verknüpfung betrachten und müsste dann sagen die gruppe x ist isomorph zu additiven oder multiplikativen Gruppe von y?

und hieße es ich müsste es ausprobieren oder gibt es da einen schnelleren Weg das zu sehen?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
der schnellere weg ist natürlich das, was leopold vorgeschlagen hat, nämlich
das man sich die ordnungen der einzelnen gruppenelemente ansieht, denn
die müssen bei isomorphen gruppen ja übereinstimmen.
Ja, dann berechne mal die ordnungen von den elementen aus (Z/8Z)^x .
Stimmen die mit denen aus Z/4Z oder mit denen aus V_4 überein?
gruss ollie3
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »

ord (1) = 1
ord (3) = ord (5) = ord (7) = 2, weil g^n =1 => n=2....
und jetzt brauche ich eine Gruppe mit 4 Elementen und jeweils mit der Ordnung 2 für die einzelnen Elementen, außer für das das neutrale Element. Also meiner Meinung nach stimmen sie nicht mit Z/4Z überein, weil die Ordnung vom 2.Element gleich 4 ist!
Und V4 hilft mir ja nicht wirklich weiter, weil ich diese Gruppe gar nicht betrachte!

P.s. noch eine kleine Frage:
Also bei der Addition ist doch g^n:= g+......+g n-mal oder?
weil sonst ja z.B. bei (R4,+) das Element 1 nie auf das neutrale Element abgebildet werden könnte, als 1^n =/= 0.... aber ord(1)=4, also 1+1+1+1=0....

Also wie gesagt, wäre sehr dankbar wenn ich noch bis heute Abend noch ein paar Beispiele hätte, weil ich morgen früh die Klausur schreibe und es wäre echt schade, wenn diese Frage gestellt werden würde und ich sie nicht richtig beantwortete!
gruß
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
Also, was du in deiner PS-frage gesagt hattest, war richtig.
Und dein ergebnis bei den ordnungen war auch richtig, (Z/8Z)^x ist dann
isomorph zu D2, und das ist dann auch isomorph zu V4.
gruss ollie3
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Olly super!
Wäre es vielleicht möglich, dass du mir noch paar nennen könntest? Ich weiß es kommt vielleicht unhöflich rüber, aber ich habe leider keine Zeit mehr, weil ich noch andere Themen lernen muss. Und diese Frage könnte eine Klausurfrage sein.

Also bis jetzt haben wir
S3 iso D3 ;
Z/3Z iso A3;
S4/A4 iso Z/2Z
Z/2Z^x iso A2
Z/3Z^x iso Z/2Z
Z/8Z^x iso D2

ich bräuchte noch 4. Bitte nicht falsch verstehen, ich weiß es wirklich zu schätzen, dass ihr es mir erklärt statt einfach die Antwort hinzuschreiben. Aber mir fehlt wirklich jetzt die Zeit.

gruß
NbaFan Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner??? Wäre nett, wenn mir noch 5 isomorphe Gruppen genannt werden könnte. Muss heute um ca. 10 los... werde davor noch kurz reinschauen!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »