Häufungspunkt Frage zu Definition

25.09.2013, 16:59

name22

Häufungspunkt Frage zu Definition

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Frage. Gerade lese ich eine Lösung zu einer Aufgabe bei der gezeigt wird, das ein Punkt kein Häufungspunkt einer Menge A ist.
Nun geht es mir gar nicht so konkret um die Aufgabe sondern mehr um eine Folgerung.

Es ist nur für endlich viele Paare (k, l) möglich eine Epsilonumgebung um x zu finden, sodass Paare (k, l) darin liegen. Und deshalb ist x angeblich kein Häufungspunkt.

Meine Ideen:
Ich bin mir aber sehr sicher, das bereits ein Punkt in der Epsilonumgebung von x ausreicht, sodass man x einen Häufungspunkt nennt. Oder liege ich da falsch?

25.09.2013, 17:12

Che Netzer

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RE: Häufungspunkt Frage zu Definition

Zitat:

Original von name22
Es ist nur für endlich viele Paare (k, l) möglich eine Epsilonumgebung um x zu finden, sodass Paare (k, l) darin liegen. Und deshalb ist x angeblich kein Häufungspunkt.

So ist das unverständlich. Wie lautet die Folgerung denn im Original-Wortlaut? Was für Paare sind insbesondere gemeint und was ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? In welchem Raum spielt sich das ab?

25.09.2013, 17:22

name22

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RE: Häufungspunkt Frage zu Definition
Ok, dann ausführlich. Ich dachte es reicht so Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A:=\left\{ \frac{1}{k} +\frac{1}{l}, k, l \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$
Nun wurde eine Menge B angegeben
$\begin{eqnarray*} B:=\left\{ \frac{1}{k}, k\in \mathbb N \right\} \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$
B soll gerade die Menge aller Häufungspunkte sein.

Nun soll gezeigt werden, falls $\begin{eqnarray*} x \notin B \end{eqnarray*}$ => x kein Häufungspunkt von A

So, nun wurde eben gezeigt, das gilt:
"Nur endlich viele 1/k + 1/l liegen in der Epsilon-Umgebung von x". Deshalb ist x kein Häufungspunkt.

Mir ist das nicht ganz klar, denn es reicht doch eben ein Punkt in der Epsilonumgebung von x.

25.09.2013, 17:28

Che Netzer

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RE: Häufungspunkt Frage zu Definition

Zitat:

Original von name22
"Nur endlich viele 1/k + 1/l liegen in der Epsilon-Umgebung von x". Deshalb ist x kein Häufungspunkt.

In welcher Epsilon-Umgebung?
Da liegt auch das Problem.

Zitat:

Mir ist das nicht ganz klar, denn es reicht doch eben ein Punkt in der Epsilonumgebung von x.

Wie lautet denn die Definition eines Häufungspunktes. Da wird doch sicher auch nicht ganz plötzlich von "der Epsilon-Umgebung" die Rede sein.

Übrigens:

Zitat:

Nun soll gezeigt werden, falls $\begin{eqnarray*} x \notin B \end{eqnarray*}$ => x kein Häufungspunkt von A

Auch das ist formal unsinnig. Der Implikationspfeil verknüpft zwei Aussagen und macht das "falls" überflüssig. Wenn du ihn also unbedingt benutzen möchtest:
"Nun soll gezeigt werden: $\begin{eqnarray*} x\notin B\Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist (!) kein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ."
Hübscher wäre es allerdings, das in Worte zu fassen.

25.09.2013, 17:36

name22

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RE: Häufungspunkt Frage zu Definition
Die Definition von Häufungspunkt die ich kenne:
$\begin{eqnarray*} x_{0} ist HP<=> \forall \epsilon>0 : M \cap \left\{ x; 0<| x-x_{0}| <\epsilon\right\} != leer \end{eqnarray*}$
Mir leer meine ich die leere Menge und mit HP Häufungspunkt.
Es wurde eine bestimmte Epsilonumgebung gewählt. (Da man zeigen möchte, das x nicht in der Menge liegt reicht es eine Umgebung zu finden)
Es wurde also eine Umgebung gefundne und folgendes gezeigt:
Es gibt eine Epsilonumgebung in der nur für endlich viele k, l gilt:
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{k} + \frac{1}{l} -x|<\epsilon \end{eqnarray*}$

=> x ist kein Häufungspunkt.

25.09.2013, 17:42

Che Netzer

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RE: Häufungspunkt Frage zu Definition

Zitat:

Original von name22
$\begin{eqnarray*} x_{0} ist HP<=> \forall \epsilon>0 : M \cap \left\{ x; 0<| x-x_{0}| <\epsilon\right\} != leer \end{eqnarray*}$

Genau, diese Bedingung soll für alle Epsilon-Umgebungen gelten.
Mal dir mal einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ auf, einen Kreis mit irgendeinem Radius $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ drumherum und endlich viele (von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ verschiedene) weitere Punkte in den Kreis.
Dann solltest du sehen, dass du den Kreis so weit verkleinern kannst, dass keine Punkte mehr darin liegen.

Wenn man das nun formalisiert, kann man folgern, dass ein Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genau dann Häufungpunkt einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ (das hattest du oben vergessen) ist, wenn in jeder Epsilon-Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ unendlich viele Punkte aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen.
(das gilt in allgemeineren Topologien übrigens nicht mehr)

25.09.2013, 17:47

name22

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RE: Häufungspunkt Frage zu Definition
Ah das stimmt natürlich, allerdings ist die Definition dann auch wirklich verwirrend. Man hat die Definition wohl aus Minimalitätsgründen gewählt vermute ich jetzt mal... :O

25.09.2013, 17:50

Che Netzer

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Jein.
In allgemeinen topologischen Räumen gilt die von mir genannte Äquivalenz wie gesagt nicht mehr, daher ist die zitierte Definition durchaus sinnvoll.

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