Kombinatorik - Würfel

25.09.2013, 22:27

I stein

Kombinatorik - Würfel

Hallo zusammen,
ich habe ein problem mit einer Aufgabe und hoffe ihr könnt mir helfen..

Vier unverfälschte Würfel mit den Ziffern 1,..,6 verteilt auf die 6 Seiten eines Würfels werden gleichzeitig geworfen. Dabei werden folgende Ereignisse betrachtet:

A = "Es fallen genau zwei einsen."
B= "Die Augensumme (Summe der auftretenden Ziffern) beträgt 6."

a) Beschreiben Sie mengentheoretisch für diese Situation eine geeignete Ergebnismenge (Omega) und die Ereignisse A und B als Teilmengen von (Omega).

Ich weiß, dass es sechs anordnungen der 1 gibt, nämlich:

A12 u A13 u A14 u A23 u A24 u A34, aber wie berechne ich diese mathematisch?

Und das Gleiche frage ich mich auch für B, es gibt 10 Möglichkeiten, aber wie berechne ich diese ohne alle aufzuschreiben?

25.09.2013, 22:47

HAL 9000

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"Sechs Anordnungen der 1" - was soll das bedeuten? verwirrt

Ich könnte mir vorstellen, dass du damit folgendes meinst: Es gibt sechs Möglichkeiten für die Auswahl der beiden Würfel (aus insgesamt vier), die jeweils eine Eins zeigen sollen.

Mit "mathematisch berechnen" meinst du dann wohl den Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{4}{2} = 6 \end{eqnarray*}$ .

Das ist aber noch nicht alles für A: Du musst dich auch um die restlichen beiden der vier Würfel kümmern, die dürfen ja noch die Augenzahlen 2 bis 6 zeigen.

Bei B greift die Formel für Kombinationen mit Wiederholung (Mengendarstellung), bezogen auf die Anzahl der Quadrupel $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3,x_4) \end{eqnarray*}$ nichtnegativer ganzer Zahlen mit

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3+x_4 = 2 \end{eqnarray*}$ ,

dabei kennzeichnet $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ die "Augenzahl des $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Würfels minus Eins". Diese Quadrupel-Anzahl ist dann $\begin{eqnarray*} \binom{4+2-1}{2} = \binom{5}{2} = 10 \end{eqnarray*}$ .

25.09.2013, 22:59

I stein

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Genau das habe ich gemeint, du hast mir sehr geholfen, vielen Dank!

Und für die beiden anderen Würfel (des Ereignisses A) muss ich natürlich die restlichen Möglichkeiten noch dazu nehmen, also 4 über 2 * 5 * 5 .

26.09.2013, 16:25

I stein

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Es fallen genau zwei einsen und genau zwei sechsen, wie berechne ich hier die Wahrscheinlichkeit, hab das Prinzip mit den Permutationen und Kombinationen noch nicht ganz raus..
Es handelt sich um die gleiche aufgabenstellung.

26.09.2013, 16:31

I stein

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Da es nur 4 Würfel gibt, gibt es nur soviele Anordnungen wie bei A, also 6, demnach:

6 / 6^4 = 1/216 , aber wie berechne ich die Anordnungen genau.. ? verwirrt

Und habs hier gepostet, weil es geht mir nicht um die Wahrscheinlichkeit, sondern um die Kombinatorik..

26.09.2013, 16:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von I stein
Da es nur 4 Würfel gibt, gibt es nur soviele Anordnungen wie bei A, also 6, demnach:

6 / 6^4 = 1/216 , aber wie berechne ich die Anordnungen genau.. ? verwirrt

Richtig, aber was meinst du mit "genau berechnen" ???

Es ist wie oben: Du hast $\begin{eqnarray*} \binom{4}{2} = 6 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, die beiden Einsen zu positionieren.

Und das war's bereits, denn an den beiden Restpositionen müssen dann die beiden Sechsen stehen, ohne jede weitere Wahlmöglichkeit. In Analogie zu deinem vorletzten Beitrag sozusagen $\begin{eqnarray*} \binom{4}{2}\cdot 1\cdot 1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

26.09.2013, 16:42

I stein

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Ja das habe ich mir schon gedacht, die zwei einsen habens mir jetzt verständlich gemacht Freude

Aber nochmal zu B, ich verstehe doch noch immer nich genau, wie man auf die 10 kommt, kannst du das vl nochmal kurz erläutern?

verstehe nicht, warum n = 4 und k = 2..

26.09.2013, 16:48

HAL 9000

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Hast du dir

Zitat:

Original von HAL 9000
bezogen auf die Anzahl der Quadrupel $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3,x_4) \end{eqnarray*}$ nichtnegativer ganzer Zahlen mit

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3+x_4 = 2 \end{eqnarray*}$ ,

dabei kennzeichnet $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ die "Augenzahl des $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Würfels minus Eins".

gründlich durchdacht?

26.09.2013, 16:50

I stein

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ich weiß garnicht warum da zwei rauskommt und nicht 10..

26.09.2013, 16:56

HAL 9000

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Wieso soll denn da 10 herauskommen?

Wir betrachten vier Würfel mit den möglichen Augenzahlen 1..6 und fragen uns, wann Augensumme 6 herauskommt. Ich bezeichne das mal als die Originalwürfel.

Jetzt entfernen wir von jeder Seite jedes Würfels gedanklich ein Auge, dann haben wir vier Würfel mit den möglichen Augenzahlen 0..5. Bezogen auf eine Wurfkombination der Originalwürfel mit Augensumme 6 hätte man hier dann nur noch Augensumme 6-4=2, es fehlt ja pro Würfel genau ein Auge.

26.09.2013, 17:04

I stein

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Ich versuchs nachzuvollziehen..

26.09.2013, 17:49

I stein

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Es leuchtet mir ja evtl. mit einem weiteren Beispiel ein, was wäre, wenn die Augenzahl 20 Beträgt?

26.09.2013, 18:39

HAL 9000

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Für Augensumme 20 klappt das so nicht - hab ich auch nie behauptet. Augenzwinkern

Dieses einfache Vorgehen greift nur bis zu Augensumme 9, was dann Quadrupeln mit

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3+x_4 = 5 \end{eqnarray*}$

entspräche. Das liegt daran, dass eine einzelne Augenzahl ja nicht größer als 6 sein darf (beim "augenreduzierten" Würfel ist die Grenze natürlich 5 statt 6).

Bei Augensumme 20 kann man aber die bei vier Würfeln vorliegende Symmetrie der Anzahlen von Augensumme $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4\cdot 7-s = 28-s \end{eqnarray*}$ nutzen: D.h. 20 und 8 sind bzgl. der Anzahlen identisch, und bei 8 greift dann wieder $\begin{eqnarray*} \binom{4+4-1}{4} = \binom{7}{4} = 35 \end{eqnarray*}$ .

Es gibt unzählige Threads hier im Board zum Thema "Augensumme beim Würfeln mit mehreren Würfeln", vielleicht suchst du mal ein bisschen, wenn dich das näher interessiert. Augenzwinkern

26.09.2013, 18:46

I stein

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Vielen dank für deine schnellen und hilfreichen Antworten, ich stöber mich mal durch!
Lg smile

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