Ricci-Identität

26.09.2013, 11:14	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
Ricci-Identität Hallo zusammen, ich habe eine kleine Frage zur Ricci-Identität: Sei $\begin{eqnarray} $(M,g)$ \end{eqnarray}$ eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit und $\begin{eqnarray} $<.,.>=g(.,.)$ \end{eqnarray}$ . Dann besagt die Ricci-Identität für Vektorfelder $\begin{eqnarray} $X,Y,Z$ \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} $Z<X,Y>= <\nabla_{X}Y,Z>+<X,\nabla_{Z}Y>$ \end{eqnarray}$ Meine Frage ist nun, was das eigentlich genau bedeutet. Insbesondere verwirrt mich, dass $\begin{eqnarray} $<X,Y>$ \end{eqnarray}$ ein Skalar ist und das Vektorfeld $\begin{eqnarray} $Z$ \end{eqnarray}$ davor steht. Rechts steht allerdings auch ein Skalar. Also Vektorfeld und Skalar = Skalar? Bitte um Hilfe!
26.09.2013, 11:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ricci-Identität Du solltest $\begin{eqnarray} \langle X,Y\rangle \end{eqnarray}$ nicht als festen skalaren Wert ansehen. Vielmehr ist das eine Funktion auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Die kannst du dann mit einem Vektorfeld $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ ableiten. Und sollte die rechte Seite nicht eher $\begin{eqnarray} \langle\nabla_ZX,Y\rangle+\langle X,\nabla_ZY\rangle \end{eqnarray}$ lauten? Dann kannst du dir die Gleichung als eine Art Produkt- bzw. Leibniz-Regel vorstellen.
26.09.2013, 13:34	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah verstehe: Die Vektorfelder bilden punktweise aus M in den Tangentialraum ab und aus dem Tangentialraum^2 bildet wiederum g in den Körper ab. Z wirkt dann als Derivation. Und klar soll's so heißen, wie Du es geschrieben hast... das war ein Tippfehler. Danke!
26.09.2013, 13:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es. Aber betrachtet ihr da wirklich Mannigfaltigkeiten über allgemeinen Körpern oder nur über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ?
26.09.2013, 14:09	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Liebe Grüße RAP

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