e hoch Matrix

26.09.2013, 18:23

Keen89

e hoch Matrix

Hier meine Aufgabe:
Berechne $\begin{eqnarray*} e^{(\frac{\pi}{2}*A)} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als erstes habe ich die Eigenwerte bestimmt:
x=1+-2i

Jetzt habe ich die Diagonalmatrix:
$\begin{eqnarray*} D = \begin{pmatrix} 1+2i & 0 \\ 0 & 1-2i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich nun weitermachen?

26.09.2013, 18:47

Che Netzer

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RE: e hoch Matrix
Eigentlich bräuchtest du noch die Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} A=SDS^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Hier vereinfacht sich die Definition aber erheblich. Was erhältst du denn, wenn du die Exponentialfunktion auf $\begin{eqnarray*} \frac\pi2D \end{eqnarray*}$ anwendest?
Setz das Ergebnis in $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\frac\pi2A}=S\mathrm e^{\frac\pi2D}S^{-1} \end{eqnarray*}$ ein.

Zur Not hätte ich noch diese Formel anzubieten Teufel

06.10.2013, 18:31

Keen89

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Dann erhalte ich dies:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^{\frac\pi2(1+2i)} & 0 \\ 0 & e^{\frac\pi2(1-2i)} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das dann einsetzen in $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\frac\pi2A}=S\mathrm e^{\frac\pi2D}S^{-1} \end{eqnarray*}$ ? Hab ja kein S.

06.10.2013, 18:38

Che Netzer

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Zitat:

Original von Keen89
Dann erhalte ich dies:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^{\frac\pi2(1+2i)} & 0 \\ 0 & e^{\frac\pi2(1-2i)} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das erhältst du für $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\frac\pi2D} \end{eqnarray*}$ . Aber nun vereinfache das doch mal ein wenig.

06.10.2013, 18:54

Keen89

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Hm... Keine Ahnung. Meinst du so?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^{\frac\pi2+\pi i} & 0 \\ 0 & e^{\frac\pi2-\pi i} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.10.2013, 19:00

Che Netzer

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Und jetzt noch weiter vereinfachen...

06.10.2013, 19:06

Keen89

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^{\frac\pi2}*e^{\pi i} & 0 \\ 0 & e^{\frac\pi2}*e^{-\pi i} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.10.2013, 19:22

Che Netzer

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Ach komm schon... Du darfst gerne auch noch einen Schritt machen, nicht immer nur einen pro Antwort. Was ist denn $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\mathrm i\pi} \end{eqnarray*}$ ?

06.10.2013, 19:40

Keen89

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Ok, ich versuchs :-)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^{\frac\pi2}*e^{\pi i} & 0 \\ 0 & e^{\frac\pi2}*e^{-\pi i} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -e^{\frac\pi2} & 0 \\ 0 & -e^{\frac\pi2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun S und S^-1 berechne und danach $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\frac\pi2A}=S\mathrm e^{\frac\pi2D}S^{-1} \end{eqnarray*}$ , bekomme ich $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\frac\pi2A} = \begin{pmatrix} -e^{\frac\pi2} & 0 \\ 0 & -e^{\frac\pi2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sehe ich, ohne S und S^-1 zu berechnen, dass das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -e^{\frac\pi2} & 0 \\ 0 & -e^{\frac\pi2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist?

06.10.2013, 19:48

Che Netzer

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Da $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\frac\pi2D} \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist, kommutiert diese Matrix mit allen anderen – insbesondere auch mit $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

06.10.2013, 19:59

Keen89

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Bedeutet das dann, dass wenn man e^A (A ist irgendeine Matrix) berechnen will und A diagonalisierbar ist, e^A=e^D ist?

06.10.2013, 20:04

HAL 9000

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Das bedeutet es i.a. NICHT !!! Wie kommt man nur auf so absurde Analogieschlüsse. unglücklich

Hier hast du nun mal den Spezialfall vorliegen, dass $\begin{eqnarray*} e^{\lambda D} \end{eqnarray*}$ für dein $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und auch dieses ganz besondere $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist - was bei anderen $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ i.d.R. nicht der Fall ist.

06.10.2013, 20:11

Keen89

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das bedeutet es i.a. NICHT !!! Wie kommt man nur auf so absurde Analogieschlüsse. unglücklich

Ok, ich verstehe. Hatte einen Denkfehler :-)
Vielen Dank euch für das Helfen!

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