beweis spektrum Limesdarstellung

26.09.2013, 19:26

Hammala

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beweis spektrum Limesdarstellung

Meine Frage:
Hallo,

ich muss zeigen, dass Der Spektralradius r(A) von A =lim $\begin{eqnarray*} (\|A^n\|^{\frac{1}{n}}) \end{eqnarray*}$ ist, wobei A in Banachalgebra $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ ist.

Ein Beweis befindet sich z.B. im pedersen seite 132
verstehe ihn nur nicht

Meine Ideen:
?

26.09.2013, 22:26

Che Netzer

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
Ich werde dir jetzt aber nicht den ganzen Beweis schrittweise auffädeln. Mit welchem Beweisschritt hast du denn das erste Problem? Und welches Problem ist das und hast du vielleicht schon eigene Ideen, damit umzugehen?

Oder möchtest du alternative Literatur genannt bekommen, um den Beweis dort nachzulesen?

26.09.2013, 23:15

Hammala

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
ok ich versuche es erst mal mit der alternativen Literatur

26.09.2013, 23:39

Che Netzer

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
Dann findest du einen Beweis sogar im Werner: Satz VI.1.6. Zwar für Operatoren, aber in Banach-Algebren lässt der sich wörtlich übernehmen.
In "Fundamentals of the Theory of Operator Algebras" (Teil 1) von Kadison und Ringrose ist es Theorem 3.3.3.
In dem FunkAna1-Skript auf meiner Webseite ist es übrigens Theorem 10.6.

Einen tatsächlich anderen Beweis konnte ich aber nirgends finden.

27.09.2013, 18:00

Hammala

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
bei den beweise aus den büchern komm ich auch nicht weiter, also beim pedersen hab ich probleme und zwar rechnet er ein Integral aus und kommt auf $\begin{eqnarray*} 2\pi\varphi (A^n) \end{eqnarray*}$ , ich weiß nicht warum, ich weiß auch nicht wie er die Cauchyintegralformel für die gleichmäßige konvergenz genutzt hat (die brauchen wir ja um Int. und Summe zu vertauschen)

und zuletzt ist die Abschätzung $\begin{eqnarray*} |\varphi (A^n)|\leq... \end{eqnarray*}$ noch unklar bzw. auch wie er auf die nächste Abschätzung kommt: $\begin{eqnarray*} ||A^n|| \leq ... \end{eqnarray*}$

27.09.2013, 18:57

Che Netzer

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung

Zitat:

Original von Hammala
bei den beweise aus den büchern komm ich auch nicht weiter, also beim pedersen hab ich probleme und zwar rechnet er ein Integral aus und kommt auf $\begin{eqnarray*} 2\pi\varphi (A^n) \end{eqnarray*}$

Das ist im wesentlichen die Cauchy-Integralformel bzw.

Zitat:

ich weiß nicht warum, ich weiß auch nicht wie er die Cauchyintegralformel für die gleichmäßige konvergenz genutzt hat (die brauchen wir ja um Int. und Summe zu vertauschen)

Kennst du den Potenzreihenentwicklungssatz? Der benutzt ja die Cauchy-Integralformel. Du kannst dir aber auch vorstellen, dass die Potenzreihe (um Unendlich) auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe gleichmäßig konvergiert, die im Konvergenzbereich liegt.

Zitat:

und zuletzt ist die Abschätzung $\begin{eqnarray*} |\varphi (A^n)|\leq... \end{eqnarray*}$ noch unklar bzw. auch wie er auf die nächste Abschätzung kommt: $\begin{eqnarray*} ||A^n|| \leq ... \end{eqnarray*}$

Bilde in der zuvor gezeigten Gleichung auf beiden Seiten den Betrag und schätze den Betrag des linken Integrals ab: Nach oben durch das Supremum der Beträge des Integranden mal die Länge des Integrationsintervalls.
Edit: Und die nächste Abschätzung benutzt halt 2.3.4, also Hahn-Banach.

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28.09.2013, 00:11

Hammala

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung

Zitat:

Original von Che Netzer
Das ist im wesentlichen die Cauchy-Integralformel bzw.

versteh ich nicht, das folgt doch nicht sofort, zumindest nicht nach Def.???

Zitat:

Kennst du den Potenzreihenentwicklungssatz? Der benutzt ja die Cauchy-Integralformel. Du kannst dir aber auch vorstellen, dass die Potenzreihe (um Unendlich) auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe gleichmäßig konvergiert, die im Konvergenzbereich liegt.

ahso stimmt, das macht sinn

Zitat:

Bilde in der zuvor gezeigten Gleichung auf beiden Seiten den Betrag und schätze den Betrag des linken Integrals ab: Nach oben durch das Supremum der Beträge des Integranden mal die Länge des Integrationsintervalls.
Edit: Und die nächste Abschätzung benutzt halt 2.3.4, also Hahn-Banach.

dann steht dran:
$\begin{eqnarray*} |2 \pi \varphi(A^n) | \leq 2 \pi r^{n+1} \underset{\theta}sup|f(re^{i \theta})| \end{eqnarray*}$
und dann? R ist doch die Resolventenabbildung

ps: glückwunsch zum 10000 beitrag :,)))

28.09.2013, 08:43

Che Netzer

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung

Zitat:

Original von Hammala
versteh ich nicht, das folgt doch nicht sofort, zumindest nicht nach Def.???

Du kannst ja
$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}r^{n-m}\mathrm e^{\mathrm i(n-m)\theta}\varphi(A^m)\dd\theta=\frac1{\mathrm i}\int_{\lvert\lambda\rvert=r}\lambda^{n-m-1}\varphi(A^m)\dd\lambda \end{eqnarray*}$
schreiben.

Edit: Du kannst auch an die Fourier-Reihe denken.

Zitat:

dann steht dran:
$\begin{eqnarray*} |2 \pi \varphi(A^n) | \leq 2 \pi r^{n+1} \underset{\theta}sup|f(re^{i \theta})| \end{eqnarray*}$
und dann? R ist doch die Resolventenabbildung

Und wie ist denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ definiert?

Zitat:

ps: glückwunsch zum 10000 beitrag :,)))

Danke

smile

28.09.2013, 10:02

Hammala

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung

Zitat:

Und wie ist denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ definiert?

$\begin{eqnarray*} 2 \pi r^{n+1} \underset{\theta}sup|f(re^{i \theta})| = 2 \pi r^{n+1} \underset{\theta}sup|\sum \lambda^{-n-1}\varphi(A^n)| \end{eqnarray*}$

28.09.2013, 10:10

Che Netzer

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
Da setzt du die Reihendarstellung ein. Ich meinte tatsächlich die Definition: "consider the complex function $\begin{eqnarray*} f(\lambda)=\varphi(R(\lambda)) \end{eqnarray*}$ ".

28.09.2013, 11:47

Hammala

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
ahso, gut dann kommt raus:

$\begin{eqnarray*} 2 \pi r^{n+1} \underset{\theta}sup|f(re^{i \theta})| = 2 \pi r^{n+1} \underset{\theta}sup|\varphi(R(re^{i\theta}))| \end{eqnarray*}$

die Definition der Operatornorm ist ja
$\begin{eqnarray*} ||\varphi|| = sup \frac{||\varphi(R(re^{i\theta})||}{||R(re^{i\theta})||} \end{eqnarray*}$

ich kann jetzt aber nicht einfach Nenner auf die andere Seite bringen, weil das sup hängt vom ganzen Term ab (ich müsste quasi das supremum in den Zähler und in den Nenner ziehen o.o. )

28.09.2013, 12:46

Che Netzer

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
Für stetige lineare Operatoren $\begin{eqnarray*} T\in L(X,Y) \end{eqnarray*}$ zwischen normierten Räumen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \lVert Tx\rVert\leq\lVert T\rVert\lVert x\rVert \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ . Das solltest du unbedingt wissen! Das erhältst du aus deiner Definition (die nicht ganz stimmt) mit
$\begin{eqnarray*} \lVert\varphi\rVert=\sup_{\substack{A\in\mathfrak A\\A\neq0}}\frac{\lvert\varphi(A)\rvert}{\lVert A\rVert}\geq\frac{\lvert\varphi(B)\rvert}{\lVert B\rVert} \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} 0\neq B\in\mathfrak A \end{eqnarray*}$ .

28.09.2013, 15:31

Hammala

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
ups, stimmt, ja dann ist es wohl klar :,D

28.09.2013, 16:31

Hammala

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung

Zitat:

Du kannst ja
$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}r^{n-m}\mathrm e^{\mathrm i(n-m)\theta}\varphi(A^m)\dd\theta=\frac1{\mathrm i}\int_{\lvert\lambda\rvert=r}\lambda^{n-m-1}\varphi(A^m)\dd\lambda \end{eqnarray*}$
schreiben

ganz kurz noch zu deiner obigen Anmerkung, damit soll ich ja das mit $\begin{eqnarray*} 2 \pi \varphi(A^n) \end{eqnarray*}$ zeigen können, ich weiß nicht wie ich die CIF anwenden soll, weil das nicht die form der CIF hat

28.09.2013, 16:38

Che Netzer

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
Vielleicht ist es dir auch lieber, wenn du das Integral als
$\begin{eqnarray*} r^{n-m}\varphi(A^m)\int_0^{2\pi}\mathrm e^{\mathrm i(n-m)\theta}\dd\theta \end{eqnarray*}$
schreibst und ganz normal integrierst...

Ansonsten musst du halt sehen, wann der Exponent $\begin{eqnarray*} n-m-1 \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ist. In allen anderen Fällen verschwindet das Integral ja.

28.09.2013, 17:12

Hammala

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
ist mir lieber, also dann wäre aber
$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}\mathrm e^{\mathrm i(n-m)\theta}\dd\theta=\frac{1}{i(n-m)}(e^{i(n-m)2\pi}-1) \end{eqnarray*}$ und weil n und m immer natürliche Zahlen sind, kommt da Null raus

28.09.2013, 17:32

Che Netzer

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
Und was ist mit $\begin{eqnarray*} n=m \end{eqnarray*}$ ?

28.09.2013, 17:54

Hammala

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
achssssssoo, so kommt man also auf die 2pi ok, jetzt hab ichs raus, danke, bist du eigentlich professor :;D

28.09.2013, 18:07

Che Netzer

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
Ich habe noch nicht einmal mein Bachelor-Zeugnis und bin erst seit ein paar Wochen volljährig Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.09.2013, 18:28

Hammala

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RE: beweis spektrum Limesdarstellung
hahaha einfach wahnsinn!

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