G abelsch?

26.09.2013, 20:19

Kirl

G/Z(G) elementar abelsch => G abelsch?

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe. Wenn nun $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ elementar abelsch ist, ist dann auch $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abelsch?

Meine Ideen:
Ich weiß, wenn $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ zyklisch ist, dass dann $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abelsch ist.

Sonst hab ich mir folgendes überlegt.

Sei $\begin{eqnarray*} g,h\in G \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} g \in gZ(G),h\in hZ(G) \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ elementar abelsch ist, existiert eine Basis $\begin{eqnarray*} \{b_1Z(G), \ldots, b_nZ(G) \} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ . Das heißt

$\begin{eqnarray*} gZ(G)=\prod_{k=1}^n b_k^{\alpha_k}Z(G) \qquad hZ(G)=\prod_{k=1}^n b_k^{\beta_k}Z(G) \end{eqnarray*}$

Daher ist doch

$\begin{eqnarray*} g=\prod_{k=1}^n b_k^{\alpha_k}z_k \qquad h= \prod_{k=1}^n b_k^{\beta_k}z'_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_k,z'_k \in Z(G) \end{eqnarray*}$

Also folgt

$\begin{eqnarray*} gh=\prod_{k=1}^n b_k^{\alpha_k}z_k \prod_{k=1}^n b_k^{\beta_k}z'_k = \prod_{k=1}^n b_k^{\alpha_k}z_k b_k^{\beta_k}z'_k \end{eqnarray*}$

Es gilt jedoch

$\begin{eqnarray*} b_k^{\alpha_k}z_kb_k^{\beta_k}z'_k=z_k b_k^{\alpha_k}b_k^{\beta_k}z'_k=z_kb_k^{\alpha_k+\beta_k}z'_1=b_k^{\beta_k}z'_1b_k^{\beta_k}z_k \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} gh=hg \end{eqnarray*}$ .

Geht das so, oder ist das totaler Blödsinn

Danke schon einmal

26.09.2013, 21:28

Gast2127

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Die Aussage ist falsch, Gegenbeispiele sind die zwei nichtabelschen Gruppen der Ordnung 8.

26.09.2013, 21:41

Kirl

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oh ok.
aber weißt du was ich falsch gemacht habe.

Dank dir

26.09.2013, 22:11

Reksilat

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RE: Kirl
Hier ist der Fehler:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n b_k^{\alpha_k}z_k \prod_{k=1}^n b_k^{\beta_k}z'_k = \prod_{k=1}^n b_k^{\alpha_k}z_k b_k^{\beta_k}z'_k \end{eqnarray*}$

Dazu müssten die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ paarweise miteinander vertauschen. Das tun sie im Allgemeinen aber nicht.

Gruß
Reksilat

PS: Wähle beim nächsten Mal bitte einen sinnvollen Threadtitel und nicht Deinen Nutzernamen. Ich habe das mal geändert.

26.09.2013, 22:18

Kirl

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ja ich habs vergessen^^.

Dank euch

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