zZ: Rang element {0,2}

26.09.2013, 20:27

Vorzeichenkrieger

zZ: Rang element {0,2}

Meine Frage:
Seien a,b $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^{n,1} \end{eqnarray*}$

Sei nun M(a;b):= $\begin{eqnarray*} ba^{T} - ab^{T} \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie Rang(M(a;b)) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {0,2}.

Meine Ideen:
Nach der Formulierung soll das tatsächlich stimmen, so fies sind unsre profs nicht, allerdings blicke ich da scheinbar nicht durch. Mir fällt beim besten Willen kein Grund ein, warum der Rang nur 2 oder 0 sein soll, und nicht <=n.

26.09.2013, 22:30

Che Netzer

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RE: zZ: Rang element {0,2}
Kleiner gleich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist der Rang natürlich auch Augenzwinkern

Naja, dass der Rang die Dimension des Bildes ist (wobei man die Matrix als lineare Abbildung auffasst), ist dir klar, oder?
Was passiert denn, wenn du $\begin{eqnarray*} M(a;b) \end{eqnarray*}$ (oder lieber mit Indizes?) mit einem Vektor $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^{n,1} \end{eqnarray*}$ multiplizierst? Erinner dich vor allem an eine Schreibweise für das Skalarprodukt.

27.09.2013, 08:52

Vorzeichenkrieger

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RE: zZ: Rang element {0,2}

Zitat:

Original von Che Netzer

Naja, dass der Rang die Dimension des Bildes ist (wobei man die Matrix als lineare Abbildung auffasst), ist dir klar, oder?

Im Prinzip ja, aber worauf du damit hinaus willst weiß ich grade nicht.

Zitat:

Original von Che Netzer
Was passiert denn, wenn du $\begin{eqnarray*} M(a;b) \end{eqnarray*}$ (oder lieber mit Indizes?) mit einem Vektor $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^{n,1} \end{eqnarray*}$ multiplizierst? Erinner dich vor allem an eine Schreibweise für das Skalarprodukt.

Beim bin ich auch irritiert, warum da das Skalarprodukt plötzlich eine Rolle spielt, imho gilt:
$\begin{eqnarray*} ba^{T} \in \mathbb R ^{n,n} \end{eqnarray*}$
damit wäre dann
$\begin{eqnarray*} <br /> M(a;b)*x \in \mathbb R ^{n,1}<br /> \end{eqnarray*}$
und der Rang ebenfalls <=n, nicht zwangsläufig 0 oder 2.
Scheinbar steh ich grade auf dem Schlauch, könntest du noch etwas konkreter werdern?

27.09.2013, 08:58

Che Netzer

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RE: zZ: Rang element {0,2}

Zitat:

Original von Vorzeichenkrieger
Im Prinzip ja, aber worauf du damit hinaus willst weiß ich grade nicht.

Das zeigt sich bald. Ich wollte nur sicherstellen, dass ich keine unbekannten Aussagen verwende.

Zitat:

damit wäre dann
$\begin{eqnarray*} <br /> M(a;b)*x \in \mathbb R ^{n,1}<br /> \end{eqnarray*}$
und der Rang ebenfalls <=n

Das stimmt auch, aber man kann eben noch mehr über den Rang aussagen.
Wie genau sieht denn der Vektor $\begin{eqnarray*} M(a;b)x \end{eqnarray*}$ aus? Setz mal die Definition von $\begin{eqnarray*} M(a;b) \end{eqnarray*}$ ein.

27.09.2013, 10:46

Vorzeichenkrieger

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Das wäre dann $\begin{eqnarray*} (ba^{T}-ab^{T})*x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ba^{T}x-ab^{T}x \end{eqnarray*}$ .
Evtl hol ich mal aus was ich mir denke, vllt ist ja einfach die Richtung völlig falsch:
Damit Der Rang für n >2 zwingend auf 2 oder 0 reduziert wird, müsste $\begin{eqnarray*} ba^{T}x-ab^{T}x \end{eqnarray*}$ für alle n oder n-2 Elemente 0 ergeben. Aber warum das der Fall sein sollte, leuchtet mir nicht ein. Noch weniger warum der Rang nicht auch 1 sein sollte.

PS: Der Rang Wahnsinniger passt wohl, du bist ja immer da, so schnell hatte ich mit ner Antwort nicht gerechnet =)
Irgendwann muss ich dir mal n Bier ausgeben...

27.09.2013, 10:57

Che Netzer

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Zitat:

Original von Vorzeichenkrieger
Das wäre dann $\begin{eqnarray*} (ba^{T}-ab^{T})*x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ba^{T}x-ab^{T}x \end{eqnarray*}$ .

Genau.

Zitat:

Damit Der Rang für n >2 zwingend auf 2 oder 0 reduziert wird, müsste $\begin{eqnarray*} ba^{T}x-ab^{T}x \end{eqnarray*}$ für alle n oder n-2 Elemente 0 ergeben.

Naja, für alle Elemente aus einem Unterraum der entsprechenden Dimension. Und tatsächlich ist dieser Ausdruck Null für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die orthogonal zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sind. Du kannst jetzt nämlich eine Schreibweise für das (euklidische) Skalarprodukt verwenden, um zu sehen, dass $\begin{eqnarray*} ba^{\mathrm T}x-ab^{\mathrm T}x \end{eqnarray*}$ eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

PS: Der Rang Wahnsinniger passt wohl, du bist ja immer da, so schnell hatte ich mit ner Antwort nicht gerechnet =)
Irgendwann muss ich dir mal n Bier ausgeben...

Trotz oder wegen des Wahnsinns trinke ich allerdings keinen Alkohol Augenzwinkern

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