Gruppe

27.09.2013, 15:30	mathemarkus	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe Meine Frage: Zu zeigen: Wenn X eine unendliche Menge ist, dann folgt, dass S(X) (symmetrische Gruppe) eine unendliche Gruppe ist. Meine Ideen: Ich hätte argumentiert, dass bereits die Menge aller Translationen (x y), mit x,y in X, eine unendliche Teilmenge von S(X) ist. Genügt das als Beweis?
27.09.2013, 15:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Ist denn schon bekannt, dass $\begin{eqnarray} S(X) \end{eqnarray}$ überhaupt eine Gruppe ist?
27.09.2013, 16:21	mathemarkus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Ja die Elemente von S(X) sind bijektive Funktionen von X nach X, die bezüglich der Hintereinanderausführung die Gruppe (S(X), °) bilden. Im Beweis geht es aber ausschließlich um die Unendlichkeit.
27.09.2013, 16:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Dann müsstest du höchstens noch kurz begründen, wieso diese Translationen tatsächlich eine unendliche Teilmenge bilden.
27.09.2013, 16:32	mathemarkus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist wohl irgendwie klar, da es unendlich viele Elemente in X gibt, kann man daraus unendlich viele verschiedene Vertauschungen erhalten. Oder könnte man das noch genauer begründen?
27.09.2013, 16:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte $\begin{eqnarray} x_0\in X \end{eqnarray}$ festgehalten und jedem $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ diejenige Translation zugeordnet, die $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ vertauscht. Das ist dann eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und einer Teilmenge von $\begin{eqnarray} S(X) \end{eqnarray}$ . Deine Zuordnung war ja keine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray} X\times X \end{eqnarray}$ und der Menge der Translationen. (edit: Wobei die Begründung, dass es unendlich viele solcher Translationen gibt, natürlich auch einfach wäre. Ich fand den obigen Weg nur noch ein wenig einfacher)
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27.09.2013, 16:45	mathemarkus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank, dein Weg ist mir klar.

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