Aussagenlogik

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totti Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagenlogik
Hallo zusammen,

wir haben eine Aufgabe zum Thema Aussagenlogik von unserm Prof. bekommen.

Eine kleine Insel hat genau 100 Einwohner. Alle sind zimelich merkwürdige Typen, da Sie auf die Fragen stets mit Aussagen antworten. Aber es gibt 2 Sorten: Ein Teil der Einwohner sagt stets die Wahrheit, während die anderen lügen.
Ein Forscher der herausfinden möchte wie viele Lügner auf der Insel wohnen, fragt jeden Einwihner der Reihe nach: "Wie viel Lügner gibt es auf der Insel?"
Der erste antwortet:"Bei uns gibt es mindestens einen Lügner." Der zweite antwortet:" Unter uns leben mindestens 2 Lügner." usw. Schließlich antwortet der letzte:" Es gibt mindestens 100 Lügner."
Wie viele Lügner gibt es nun auf der Insel?



Also ich habe dazu mir folgende Gedanken gemacht:

Entweder lügen alle nur einer nicht, denn einer muss ja die Wahrheit sagen. Allerdings denke ich das der letzte lügt, denn da genau 100 Leute da wohnen und er sagt es gibt mindestens 100 Lügner, kann der nur er lügen. Alle anderen die gesagt haben 10 oder 20 sagen ja immer mindestens, und das muss ja nicht heißen, dass es genau so viele sind. Allerdings wenn der letzte lügen sollte, müssten auch die anderen lügen, denn es wäre dann ja nur einer?!

Ich drehe mich da iwie im Kreis, und ich hoffe ihr könnt mir helfen, danke...

Gruß
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussagenlogik
Zitat:
Allerdings wenn der letzte lügen sollte, müssten auch die anderen lügen, denn es wäre dann ja nur einer?!
Nein, wenn der Letzte lügt, dann weißt du nur, dass es mindestens einen Lügner gibt.


Überleg dir mal Folgendes:
Bezeichne die Einwohner mit den Zahlen , entsprechend der Reihenfolge im Text.

Nimm an, das Person i ein Lügner ist. Das bedeutet, dass es auf der Insel weniger als i Lügner gibt.
Dann folgt daraus, dass auch die folgenden Personen Lügner sind, also die Menge lügt.
Damit kannst du die Anzahl der Lügner bestimmen.
 
 
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt wenn der letzte lügt, weiß ich das mindestens einer lügt. Und zwar mindestens er.

Ui,

ich glaube du hast das schon relativ verständlich geschrieben, allerdings kann ich damit grade nicht viel anfangen.

Ich probiere es aber gerne mal.

soll also ein Lügner sein.
Angenommen es ist der letzte.

Dann ist mir auch bewusst, dass sein muss. Da es ja mindestens einen Lügner gibt?!
Soweit richtig?

Nur das danach verstehe ich nicht, warum sind die dann auch alle Lügner?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

" Angenommen es ist der letzte." -> Warum der Letzte?

Nimm das kleinste i, so dass i ein Lügner ist. Nimm an, es gäbe ein , so dass i lügt, und j aber nicht lügt. Konstruiere damit einen Widerspruch.
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar,

warum der letzte:

Ich denke, da er sagt mindestens 100! und es wohnen nur genau 100 auf der Insel. Ich beziehe mich da auch ein wenig auf die Aussage "Mindestens"

Ich weiß das es mathematisch keine Aussage ist, und eine Aussage anders definiert wird.

Wenn ein Lügner ist, und ist kein Lügner, dann würde ich ja sagen, dass ist.

Der Widerspruch daraus würde doch auch ein Gegenteil sein oder?
Also

Aber bringt mich das weiter?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von totti
Ich denke, da er sagt mindestens 100! und es wohnen nur genau 100 auf der Insel. Ich beziehe mich da auch ein wenig auf die Aussage "Mindestens"
Wenn es genau 100 Lügner auf der Insel gäbe, dann wäre das kein Widerspruch zu der Aussage, dass es mindestens 100 Lügner gibt.

Du musst meinen Ansatz auch mal konsequent zu Ende denken.


Also nochmal:
Zitat:
Nimm das kleinste i, so dass i ein Lügner ist. Nimm an, es gäbe ein , so dass i lügt, und j aber nicht lügt. Konstruiere damit einen Widerspruch.
Nimm das kleinste i, so dass i ein Lügner ist (ein solches i existiert, da es mindestens einen Lügner gibt, was man auch zeigen kann).
behauptet ja: "Es gibt mindestens i Lügner". Wir nehmen an, dass i lügt, also gibt es weniger als i Lügner.
Nimm nun an, es gäbe ein , so dass j die Wahrheit sagt, also gibt es mindestens j Lügner.
Daraus kannst du nun einen Widerspruch konstruieren.
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich schreibe nochmal alles auf.

Es gibt mindestens einen Lügner, das wissen wir! Denn das ist der 100. also der letzte der Befragten!!!

Dementsprechend folgt doch daraus, wenn ich deiner Bezeichnung folge leiste:







Also weiß ich das der erste kein Lügner ist. Also ist das kleinste
Und das kleinste
Eingesetzt bedeutet dass: Das ist doch mein Wiederspruch oder?


Jetzt mal zu einem Denkansatz von mir:

Ich gehe davon aus, dass es 50 Lügner gibt, der 51. sagt es gibt mindestens 51 Lügner! Das bedeutet, dass der 50. also sein Vorgänger gelogen hat. Der sagt ja es gibt mindestens 50 Lügner. Gehe ich jetzt aber davon aus, dass der 51. die Wahrheit sagt, gibt es wie gesagt nur 49 die die Wahrheit sagen. Und das würde beweisen das der 50. Unrecht hat als gelogen hat, denn er sagt es gibt mindestens 50 Lügner. Ist aber nicht richtig, da es auch im Umkehrschluss bedeuten muss dass 50 die Wahrheit sagen. Kann es aber nicht, da wir schon wissen das Person 1 die Wahrheit sagt.

Mir fällt es schwer das Allgemein auszudrücken.


Und aus etwas einen Widerspruch zu konstruieren auch, da ich zwar weiß was ein Widerspruch ist z.B oder?
Und das habe ich doch schon mit der Annahme das

Wenn es geht versuche mir das erstmal so deutlich zu machen, ohne das ich direkt was einsetzten muss Augenzwinkern

1000Dank
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von totti
Es gibt mindestens einen Lügner, das wissen wir! Denn das ist der 100. also der letzte der Befragten!!!
Richtig, letzteres ist im Grunde aber vollkommen irrelevant.

Zitat:
Original von totti
Dementsprechend folgt doch daraus, wenn ich deiner Bezeichnung folge leiste:
Also weiß ich das der erste kein Lügner ist.
Ja, das ist richtig, wenngleich aber auch völlig irrelevant.

Zitat:
Original von totti
Also ist das kleinste
Warum? Daraus, dass die erste Person kein Lügner ist, folgt doch nicht, dass die zweite Person ein Lügner ist.

Zitat:
Eingesetzt bedeutet dass: Das ist doch mein Wiederspruch oder?
Nein. Du kannst keinen Widerspruch zu einer Voraussetzung konstruieren.

Wenn du dich mit Variablen schwertust, dann nehmen wir halt mal an. Danach überlegen wir uns, dass die selbe Argumentation auch für gilt, danach usw.

Ist es für dich irgendwie vorstellbar, dass es ein gibt?

PS:
Zitat:
Wenn es geht versuche mir das erstmal so deutlich zu machen, ohne das ich direkt was einsetzten muss Augenzwinkern
Mir scheint, als fehlen dir hier die notwendigen Grundlagen, um dich ernsthaft mit dieser Aufgabe zu beschäftigen. Für einen Einstieg ist diese denkbar ungeeignet. Wofür musst du diese überhaupt machen?

PPS: Verschoben, scheint mir mehr Uni-Mathe zu sein.
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Gut,

also ich brauche die Aufgabe bis morgen, denn die hat unser Prof uns in der 1. Woche unseres E-Technik Studiums gestellt. Und wir haben da hauptsächlich über Aussagen gesprochen, haben auch die De´Morganschen Gesetzte behandelt.
Bislang noch nicht mehr, wir werden uns morgen oder Dienstag aber bestimmt mit der Mengenlehre( dazu gehört meines Erachtens das Thema und die Frage) und mit Quantoren beschäftigen, allerdings habe ich mich dazu im Vorfeld belesen.
Eventuell sollte ich die Grundlagen doch kenne, vllt kann ich sie nicht abrufen oder mir wird es einfach nicht richtig deutlich.

Ich denke wenn ich das umschreiben möchte kann ich diese Aussagen doch mit dem Existensquantor ausdrücken oder?

Den dieser bedeutet doch, es existiert mindestens ein....(Lügner oder der die Wahreit sagt)



Nein daraus folgt in der Tat nicht das der 2. ein Lügner ist. Nur ich sollte mal das kleinste betrachten. Dies ist aber mindestens 2, also Person Nummer 2, da wir wissen das Person 1 die Wahrheit sagt!
Deswegen dachte ich das.

Ich kann mir das vorstellen, dass ist. Bedeutet doch im Umkehrschuss nur, dass es weniger Lügner als Leute gibt die die Wahrheit sagen.

Wenn ich jetzt an die Mengenlehre denke, ist unsere Menge doch die ?!

Gruß
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Math ist offline, also mache ich einmal weiter.

vielleicht verkleinerst du die Anzahl mal aus 10 Personen.

nun hast du richtig gesagt, Person 10 muss lügen, denn würde er die Wahrheit sagen, dann gäbe es indestens 10 Lügner und damit würde er lügen, was einen Widerspruch ergibt.

Nn betrachten wir Person 9, die sagt: es gibt mindestens 9 Lügner.

Wir wissen, dass Person 10 lügt, also sagt Person 9: Es gibt mindestens acht Lügner (außer Person 10) und Person 10 lügt auch.

Führe das zum Widerspruch und schaue dir Person 8 an, fahre so fort, was erhälst du?

Wie kannst du das auf 100 Personen erweitern?
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Ales klar, hast recht ich kann natürlich die Anzahl verkleinern.

Also gehe ich jetzt nach dem Prinzip vor.

Person 10 lügt.

Person 9 sagt das 8 Personen lügen und die 10. Person

Person 8 sagt das 6 Personen lügen und die 9 und 10. lügt

Person 7 sagt das 4 Personen lügen und die 8&9&10. lügt

Person 6 sagt das 3 Personen lügen und die 7,8,9,10 lügt

Person 5 sagt das 2 Personen lügen und die 6,7,8,9,10 lügt

Person 4 sagt das 1 Person lügt und die 5,6,7,8,9,10 lügt

Person 3 sagt das keine Person lügt aber die 4,5,6,7,8,9,10

...
...
...

Das ist der Widerspruch, es klappt quasi nur bis Person 7 oder, da so nur die Anzahl stimmt oder?

Ist das dass was du meinst?!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ungefähr, aber wie kommst du darauf, dass Person 7 die "niedrigste" Person ist, die lügt? verwirrt

Wie gesagt, betrachte erst mal Person 9, warum lügt Person 9?

Desweiteren sind dir einige kleine Fehler unterlaufen:

Person 6 sagt das mindestens 2 Personen lügen und die 7,8,9,10 lügt


Person 5 sagt das mindesten die 5 Personen 6,7,8,9,10 lügen

Es sind immer mindestanzahlen und bei Person 6 lügen 7,8,9,10 und mindesten 2 weitere, nicht wie bei dir steht 3 weitere.

Also:

warum lügt Person 9?
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Also Person 9 lügt deshalb glaube ich ^^

Wenn Person 10 lügt, das ist schonmal eine. Bleiben noch 8 Lügner die Person 9 behauptet.

Also lügt Person 2,3,4,5,6,7,8...Das wären insgesamt 8 Lügner...

Jetzt muss aber damit die Anzahl stimmt auch er selbst lügen oder???

Also lügt er auchAugenzwinkern


Also das macht grade Sinn für michAugenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich das ist doch kein systematisches Herangehen....


Mach dir erst mal klar:

Wenn Person 9 lügt, dann lügen auch Personen 1-8.

Person 9 sagt mindestens 9 Personen lügen. Wenn 9 Personen lügen, dann lügen erst recht mindestens 8 und sicherlich auch mindestens 7, da es Mindestanforderungen sind.

Also:

Person 9 sagt die Wahrheit => Person 1-8 sagen die Wahrheit => .... => Person 9 lügt

Und schon ist er da der Widerspruch, allerdings fehlt bei ... noch etwas, was fehlt?
totti Auf diesen Beitrag antworten »

hey ganz ehrlich...

muss ich den Widerspruch verstehen???

was ich denke, dass der Knackpunkt Person 9 sein könnte.

Das Person 1-8 dann auch lügen war mir bewusst, habe ich halt nicht expliziert erwähnt.

Um den Widerspruch zu verstehen und um das alles zu beweisen, muss ich von beiden Seiten die Person betrachten. Also wenn Person 9 lügt, dieses Szenario haben wir ja durchgespielt.

Jetzt müssen wir das Szenario betrachten wenn Person die Wahrheit sagen würde.
Das würde dann ja auch gleich bedeutend sein, dass Person 1-8 auch die Wahrheit sagen...

Aber das geht ja nicht?!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das müssen wir nicht, es reicht zu zeigen, dass die Annahme, Person 9 sage die Wahrheit zu einem Widerspruch führt, daraus folgt automatisch, dass 9 lügt, es reicht also ein ausgewähltes Szenario durchzuspielen, welches man geschickterweise auswählt ist Übung.

du solltest die Threads auch lesen, ich habe angenommen, dass Person 9 die Wahrheit sagt und nicht, dass Person 9 lügt.

Ich mache es dir einmal vor:

Wir nehmen an, Person 9 sage die Wahrheit:

Person 9 sagt Wahrheit => 1-8 sagen Wahrheit => nur Person 10 lügt => genau eine Person lügt => Person 9 lügt Widerspruch

Nun nehmen wir an, Person 8 sage die Wahrheit, führe das mal selbst zum Widerspruch....
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich glaube jetzt.
Ich umschreibe deins mal ok?!

Also wenn ich davon ausgehe das Person 9 die Wahrheit sagt ist es klar das auch die Personen 1-8 die Wahrheit sagen. Wir wissen das Person 10 lügt, das wäre dann der eine Lügner!!!
Dies kann dann ja nicht sein, da Person 9 lügt. Denn die Aussage beudetet das es nur einen Lügner gibt, dies ist Nummer 10, also muss Person 9 ebenfalls lügen. Also lügt die Person9 von den 10 auch. Also wissen wir das Person 9 lügt!

Jetzt probiere ich es mal Person 8 wie du ja schon gesagt hast.

Also wenn ich davon ausgehe das Person 8 die Wahrheit sagt, ist es gleichbedeutend das auch Person 1-7 die Wahrheit sagen.
Person 8 sagt ja das es 2 Personen gibt die Lügen. Da wir jetzt wissen das Person 9 und 10 lügen, heißt es auch, dass Person 8 lügt.

Das ist der Wiederspruch?!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, PÜerson 8 sagt, dass es min. 8 Personen gibt, die lügen verwirrt und nicht nur 2....

Steht jedenfalls so in deinem Eingangspost

Das ist alles recht konfus was du schreibst....

Mach das doch einfach mal mit einfacher Implikation:
wir nehmen an, 8 sage die Wahrheit:

8 sagt die Wahrheit (es gibt mindestens 8 Lügner) => 1-7 sagen die Wahrheit => .... (*)


soweit ist deines richtig

versuch mal, bei (*) weiter zu machen, ich gehe jetzt schlafen....
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Danke im voraus für deine Hilfe, ich werde da mal weiter machen.

Eine Implikation ist eine Logik, von der ich weiß wenn wahr ist dann gilt dies auch für

Eine Implikation ist eigentlich immer wahr außer es tritt der Fall ein, das wahr und falsch ist.

Das bedeutet doch die Implikation.
Zumindest habe ich das so verstanden, ich muss zugeben es ist nicht einfach mit der Implikation da sie ja bedeutet wenn - dann...
Ich verbinde meistens das genau dann - wenn... Also die Äquivalenz...

Und ich soll bei dem * mit der Implikation weiter machen.

Wenn 1-7 die Wahrheit sagen => Person 9 und 10 lügen. => 2 Personen lügen => Person 8 lügt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Mal eine leicht andere Herangehensweise. Angenommen, unter den n = 100 Personen seien genau i Lügner. Dann hätten die Personen 1 bis i die Wahrheit gesagt. Die Personen i + 1 bis n hätten gelogen. Das sind n - i Lügner. Daraus folgt:

totti Auf diesen Beitrag antworten »

Das leuchtet ein...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun, was ist dein Ergebns?

@Huggy:

auf den allgemeinen Fall für beliebige n wollte ich auch hinaus, das hat Math ja auch schon versucht, ich dachte aber, dass der konkrete Fall, also einmal für eine kleine Zahl jede Person "durchzuspielen" den Umgang mit Aussagen etwas trainiert.
totti Auf diesen Beitrag antworten »

dann bleiben wir doch erstmal bei deiner herangehensweise.
war die Implikation richtig für die 8. Person
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dir das, was Huggy geschrieben hat klar ist und einleuchtet, können wir an diesen Punkt voraus springen, wenn nicht, dann machen wir hier weiter, jap, deine Implikationen für Person 8 waren richtig, nun Person 7, 6, 5 ....

Was erhälst du?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
ich dachte aber, dass der konkrete Fall, also einmal für eine kleine Zahl jede Person "durchzuspielen" den Umgang mit Aussagen etwas trainiert.

Um Aussagenlogik zu trainieren, ist das der bessere Weg. Ich wollte lediglich eine Alternative aufzeigen, bei der man praktisch keine Aussagenlogik braucht.
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denke schon das ich das von Huggy verstehe, denn i-wann kommt ja der Punkt wo es nicht mehr passt.

Nur muss ich den Punkt finden wann dies der Fall der ist.

Den ich wahrschenlich heraus finde, wenn ich die Implikationen für die anderen Peronen mache.

Die 7. Person sagt die Wahrheit => Person 8,9,10 lügen => 3 Personen lügen=> Person 7 lügt.

Die 6. Person sagt die Wahrheit => Person 7,8,910 lügen => 4 Personen lügen => Person 6 lügt

Die 5. Person sagt die Wahrheit => Person 6,7,8,9,10 lügen => 5 Personen lügen => Person 5 lügt nicht und sagt die Wahrheit?!?!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, so ist erst mal gut, wir haben also Person 5 gefunden, das ist die Person mit der größten Zahl, die mindestens die Wahrheit sagt.

Nun formulieren wir das erst mal allgemein:


Person i sagt die Wahrheit => .....
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Person i sagt die Wahrheit => Personen lügen => Personen lügen?! =>...

Edit:

Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von totti
Also ich denke schon das ich das von Huggy verstehe, denn i-wann kommt ja der Punkt wo es nicht mehr passt.

Ja, aber doch nicht ganz. Bei meinem Weg musst du einfach die Gleichung



nach i auflösen. Logik und Denken ist nicht mehr erforderlich.
totti Auf diesen Beitrag antworten »

@ Huggy





Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest es schon auf die Endform



bringen.
totti Auf diesen Beitrag antworten »

ist es jetzt!



Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

@ Huggy:

Wir kommen auch gleich auf die Gleichung wenn alles klappt, also lass uns dann doch Schritt für schritt vorgehen, wenn totti nicht sofort sieht, wie das zustande kommt.


@totti:

Zitat:



Person i sagt die Wahrheit => Personen lügen => Personen lügen?! =>...


das ist so okay, ich habe noch mal einen "Zwischenschritt" eingeführt:

Person i sagt die Wahrheit => Personen 1 bis i-1 sagen die Wahrheit => n-i Personen lügen

Nun muss was für i und n-i gelten, damit wir einen Widerspruch haben?
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben einen Widerspruch, wenn ist oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein unglücklich

Wir haben einen Widerspruch, wenn ist.

für positives i gilt immer , das ist kein Voodoo und nichts besonderes.

Wann haben wir keinen Widerspruch?
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, verdammt

Wir haben keinen Wiederspruch wenn ist oder?

Oder ich überlege grade ob auch kein Widerspruch ist?!

Ne ich glaube das letztere also
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe auch hier meinst du und nicht n-1.....

Ein bisschen Konzentration bitte...

Okay, zusammengefasst:


Person i sagt die Wahrheit => Personen 1 bis i sagen die Wahrheit => Personen i+1 bis n lügen => n-i Personen lügen

Gilt nun haben wir einen Widerspruch, gilt haben wir keinen Widerspruch.


So, nun kommen wir von "unten", wir nehmen an, Person 1, 2, 3, 4 ... lügen, kannst du hier auch Widersprüche konstruieren?
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Person 1 lügt =>Person 2-10 sagen die Wahrheit => 9 Personen sagen die Wahrheit => Person 1 sagt die Wahrheit

Person 2 lügt => Person 1 sagt die Wahrheit => 3-10 sagen die Wahrheit => 8 Personen sagen die Wahrheit => Person 2 sagt die Wahrheit

Person 3 lügt => Person 1&2 sagen die Wahrheit => 4-10 sagen die Wahrheit => 7 Personen sagen die Wahrheit => Person 3 sagt die Wahrheit

Person 4 lügt => Person 1,2,3 sagen die Wahrheit => 5-10 sagen die Wahrheit => 6 Personen sagen die Wahrheit => Person 4 sagt die Wahrheit



???
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Super, langsamcheint es ja klick gemacht zu haben.

Nun den allgemeinen Fall:

Person i lügt => Personen i bis n lügen => ......

wie geht es hier weiter?
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