Unstetigkeitsstellen als Nullmengen beweise

28.09.2013, 02:32

Skolja

Unstetigkeitsstellen als Nullmengen beweise

Ich brauch hilfe bei der Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f\colon [a,b] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine monoton wachsende Funktion

1. Sei $\begin{eqnarray*} a \le x_1 < \dots < x_n \le b \end{eqnarray*}$ Zeige dass: $\begin{eqnarray*} o(f,x_1) + \dots + o(f,x_n ) <f(b)-f(a) \end{eqnarray*}$

wobei
$\begin{eqnarray*} o(f,x_i) = \lim_{ \delta \to 0} \left [ \sup \left \{f(x), x \in [a,b] ; \ (x-x_1) \le \delta \right \}- \inf \left \{f(x), x \in [a,b] ; \ (x-x_1) \le \delta \right \} \right ] \end{eqnarray*}$

2. Zeige, dass die Menge der Unstetigkeitstellen von f eine Nullmenge bilden. (Tipp: Zeigt, dass $\begin{eqnarray*} B_n \colon = \left \{ x|o(f,x) \ge \frac 1n \right \} \end{eqnarray*}$ nur endlich viele Punkte hat.

zu 1.

Das Intevall setzt sich aus stetigen Teilintervallen und Unstetigkeitsstellen zusammen.

Sei $\begin{eqnarray*} [x_l, x_j] \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_l < x_j \end{eqnarray*}$ ein Intervall auf dem $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ stetig ist.
$\begin{eqnarray*} f(x_j)- f(x_l) = \lambda_j \end{eqnarray*}$

Auf Grund der Monotonie ist dann:

$\begin{eqnarray*} f(b)-f(a) = \sum_i o(f,x_i) + \sum_j \lambda_j \end{eqnarray*}$

So da hab ich dann die erste Frage:

Damit die Ungleichung gilt, müsste doch noch gefordert werden, dass es mindestens ein Teilintervall gibt, in dem die stetige Funktion nicht konstant ist.

Also $\begin{eqnarray*} \sum_j \lambda_j \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten würde ich doch den gesamten "Höhenunterschied" durch die Unstetigkeitsstellen bewältigen, da eine konstante Funktion ja laut definition sowohl monoton steigend als auch fallend ist.

Das heißt wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in allen stetigen Teilintervallen konstant sein kann, dann hätte ich ja
$\begin{eqnarray*} \sum_i o(f,x_i) \leq f(b)-f(a) \end{eqnarray*}$ anstatt dem $\begin{eqnarray*} \sum_i o(f,x_i) < f(b)-f(a) \end{eqnarray*}$

Stimmt mein Ansatz ansonsten soweit?

zu 2.

So sei

$\begin{eqnarray*} f(b)-f(a) = \lambda = max ( \sum_i^n o(f,x_i) ) \end{eqnarray*}$

So $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{\lambda \cdot n }{n} \end{eqnarray*}$

Das heisst doch dann das $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ maximal $\begin{eqnarray*} \lambda n \end{eqnarray*}$ Punkte mit
$\begin{eqnarray*} o(f,x)= \frac 1n \end{eqnarray*}$ hat. Also weniger als $\begin{eqnarray*} \lambda n \end{eqnarray*}$ Punkte mit $\begin{eqnarray*} o(f,x) \ge 1n \end{eqnarray*}$ so jetzt hab ich aber das Problem, dass für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Punkte ebenfalls gegen uendlich geht verwirrt

So weiterhin bin ich mir nicht ganz sicher wie ich dadurch zeigen soll, dass die Unstetigkeitsstellen eine Nullmengen bilden...

Ich kenne als Definition für Nullmengen:

A ist eine Nullmengen, wenn es zu A ein Überdeckung $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \dots \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \sum_n v(U_i ) \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \ge 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt annehme dass es endlich viele Rechtecke mit der Höhe $\begin{eqnarray*} h \ge \frac 1/n \end{eqnarray*}$ und der Breite $\begin{eqnarray*} b= \delta \end{eqnarray*}$ und da Unstetigkeitsstellen ja Punkte sind $\begin{eqnarray*} \delta \to 0 \end{eqnarray*}$ gibt, welche die Unstetigkeitsstellen überdecken, dann hätte ich $\begin{eqnarray*} v(U_i) = \lim_{\delta \to 0 } \frac 1n \delta = 0 \end{eqnarray*}$ .

Somit $\begin{eqnarray*} \sum_i v(U_i) = 0 \end{eqnarray*}$ und diese Unstetigkeitstellen Nullmengen...

Nur was mach ich mit den anderen Stellen verwirrt

Ich hätte gedacht, man könne für alle Unstetigkeitsstellen einfach ein Rechteck mit Breite =0 wählen also quasi ein Strich...
Nur dann macht ja die Unterscheidung keinen Sinn ...

Also irgendwie mache ich da wohl was falsch unglücklich

Eine Überdeckung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ für eine Unstetigkeitsstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ muss doch ein Rechteck $\begin{eqnarray*} [a,b] \times [c,d] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x^- \to x_0} , \lim_{x^+ \to x_0 } \in U \end{eqnarray*}$
(ich weis lieder nicht wie man Grenzswert von oben und unten richtig darstellt..)

So also wie kommme ich jetzt damit darauf, dass die Unstetigkeitstellen ein Nullmenge bilden verwirrt

Kann mir jemand weiterhelfen Hilfe

Vielen dank smile

29.09.2013, 15:58

Skolja

Unstetigkeitsstellen als Nullmengen beweise

Verwandte Themen