Volumen von Bällen in Bezug zum Radius

28.09.2013, 09:29

Alo

Volumen von Bällen in Bezug zum Radius

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

Ich hoffe Ihr könnt mir bei folgender Frage weiterhelfen. Ich kenne auch schon die Lösung, kann diese allerdings mathematisch nicht nachvollziehen. Hier die Aufgabe:

Ein Ball mit dem Radius r Meter hat ein Volumen von $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \pi r^{3} \end{eqnarray*}$ Kubikmetern. Um wie viel vergrößert sich das Volumen, wenn der Radius um 1 m zunimmt?

Meine Ideen:
Die Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \pi (r+ 1)^{3}-\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi (r^{3} +3r^{2}+3r+1)-\frac{4}{3} \pi r^{3}= \frac{4}{3}\pi (3r^{2}+3r+1) \end{eqnarray*}$

Leider fehlt es mir an Grundverständnis, so dass ich nicht verstehe, warum im ersten Schritt $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi r^{3} \end{eqnarray*}$ abgezogen werden. Und im Ergebnis kann ich nicht nachvollziehen, wo die $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{3} \pi r^{3} \end{eqnarray*}$ untergekommen sind. Genauso wie das $\begin{eqnarray*} r^{3}) \end{eqnarray*}$ in der Klammer?

Ich hoffe das meine Ausdrucksweise einigermaßen verständlich ist und ich mich im richtigen Thema befinde. Ich befürchte fast, dass es sich bei mir um Lücken von generellen Algebra-Wissen handelt.

Vielen lieben Dank vorab!

Grüße
Alo

28.09.2013, 09:43

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Volumen von Bällen in Bezug zum Radius

Zitat:

Original von Alo
Um wie viel vergrößert sich das Volumen, wenn der Radius um 1 m zunimmt?

Zitat:

Original von Alo
...warum im ersten Schritt $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi r^{3} \end{eqnarray*}$ abgezogen werden

Du sagst es ja schon fast selber. Die Frage ist, um wie viel sich das Volumen vergrößert. Daher musst du von deinen vergrößerten Volumen (mit r+1) das "normale" Volumen (nur r) abziehen. Das Prinzip ist ja auch logisch. In einer Klasse mit 25 Kindern waren letztes Jahr noch 20. Um wie viel Kinder ist die Klasse gewachsen? Nach logischerweise 25-20=5

Zitat:

Original von Alo

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \pi (r+ 1)^{3}-\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi (r^{3} +3r^{2}+3r+1)-\frac{4}{3} \pi r^{3}= \frac{4}{3}\pi (3r^{2}+3r+1) \end{eqnarray*}$

Und im Ergebnis kann ich nicht nachvollziehen, wo die $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{3} \pi r^{3} \end{eqnarray*}$ untergekommen sind. Genauso wie das $\begin{eqnarray*} r^{3} \end{eqnarray*}$ in der Klammer?

Hier wurde im Kopf schon die Klammer aufgelöst. Hast du das mal probiert? Man hat hier das $\begin{eqnarray*} r^3 \end{eqnarray*}$ aus der Klammer genommen und den Rest in den Klammern so gelassen. Man hat die Klammer also nur teilweise aufgelöst.

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi (r^{3} +3r^{2}+3r+1)-\frac{4}{3} \pi r^{3}= \frac{4}{3}\pi r^3+ \frac{4}{3}\pi (3r^2+3r+1)- \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (3r^2+3r+1) \end{eqnarray*}$

28.09.2013, 10:05

Alo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Yu,

vielen Dank für deine Unterstützung. Die erste Frage ist jetzt klar. Auch deinen Rechenschritt kann ich nachvollziehen; nur nicht, warum beim hinausnehmen von $\begin{eqnarray*} r^{3} \end{eqnarray*}$ wieder ein $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \pi \end{eqnarray*}$ entsteht. Wenn ich das nachvollziehen kann, ist alles klar.

28.09.2013, 14:12

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Volumen von Bällen in Bezug zum Radius
$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi (r^{3} +3r^{2}+3r+1)-\frac{4}{3} \pi r^{3}= \frac{4}{3}\pi r^3+\frac{4}{3}\pi (3r^{2}+3r+1)-\frac{4}{3}\pi r^3 \end{eqnarray*}$

Hierum geht's ja? Warum vor der Klammer wieder $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \pi \end{eqnarray*}$ steht?

Na weil du ALLE Summanden mit den $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \pi \end{eqnarray*}$ multiplizieren musst. Nur weil du es mit dem $\begin{eqnarray*} r^3 \end{eqnarray*}$ getan hast, verschwindet es da nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi (r^{3} +3r^{2}+3r+1)-\frac{4}{3} \pi r^{3}= \frac{4}{3}\pi r^{3} +\frac{4}{3}\pi 3r^{2}+\frac{4}{3}\pi 3r+\frac{4}{3}\pi -\frac{4}{3} \pi r^{3}= \frac{4}{3}\pi 3r^{2}+\frac{4}{3}\pi 3r+\frac{4}{3}\pi \end{eqnarray*}$

Und jetzt wird das $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray*}$ wieder ausgeklammert.

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi 3r^{2}+\frac{4}{3}\pi 3r+\frac{4}{3}\pi=\frac{4}{3}\pi(3r^2+3r+1) \end{eqnarray*}$

28.09.2013, 17:24

Alo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Volumen von Bällen in Bezug zum Radius
Super, vielen Dank und noch ein schönes Wochende. Ich kann gerade selbst kaum glauben, wie blöd die Frage war. Manchmal sieht man vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr Wink

Neue Frage »

Antworten »

Volumen von Bällen in Bezug zum Radius

Verwandte Themen