Gradientenvektorfeld

28.09.2013, 13:25

gigg0rn

Gradientenvektorfeld

Meine Frage:
Hi,

also ich habe folgendes Problem:
Ich soll zeigen, ob $\begin{eqnarray*} g(x,y)=(xsin(y), x^2cos(y)) \end{eqnarray*}$ ein Gradientenvektorfeld ist oder nicht. Falls ja, soll eine Stammfunktion angegeben werden.

Meine Ideen:
Das Grundlegende Prinzip habe ich glaube ich verstanden.
Ich muss ja im Grunde nur zeigen dass es eine Stammfunktion F gibt, und dann sind die zwei Richtungsableitungen ja automatisch ein Gradientenvektorfeld richtig?

Ich habe also folgendermaßen angefangen:

$\begin{eqnarray*} G_x=xsin(y) , G_y=x^2cos(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G=\frac{1}{2}x^2sin(y)+c'(y) \end{eqnarray*}$ dabei ist c jetzt noch eine Funktion die es zu bestimmen gilt.

Jetzt fehlen mir die Ideen wie ich an c kommen soll smile

In einem anderen Beispiel habe ich c rausgefunden indem ich mein G nach der andere variablen integriert hatte und das dann mit der Richtungsableitung gleichgesetzt hatte...
Wenn ich das hier so mache, bekomme ich für $\begin{eqnarray*} c'(y)=2 \end{eqnarray*}$ und somit wäre $\begin{eqnarray*} G=\frac{1}{2}x^2sin(y)+2y \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich das nun aber ableite, bekomme ich ja nicht mein $\begin{eqnarray*} g(x,y) \end{eqnarray*}$ raus.
Hab ich mich jetzt verrechnet oder andere grobe Fehler gemacht oder zeigt dass jetzt nur dass $\begin{eqnarray*} g(x,y) \end{eqnarray*}$ kein Gradientenvektorfeld ist, da es keine Stammfunktion gibt?

28.09.2013, 18:12

Che Netzer

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RE: Gradientenvektorfeld

Zitat:

Original von gigg0rn
Ich soll zeigen, ob $\begin{eqnarray*} g(x,y)=(xsin(y), x^2cos(y)) \end{eqnarray*}$ ein Gradientenvektorfeld ist oder nicht. Falls ja, soll eine Stammfunktion angegeben werden.

Die Kombination "zeigen, ob" ist sinnlos. Du sollst sicher "überprüfen, ob". Und genau damit solltest du auch anfangen. Was ist denn die Bedingung an ein Vektorfeld (auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ), die es erfüllen muss, um ein Gradientenvektorfeld zu sein.

Zitat:

Ich muss ja im Grunde nur zeigen dass es eine Stammfunktion F gibt

Nein, das sollst du wie gesagt überprüfen, nicht zeigen (also entweder zeigen, dass es eine gibt, oder zeigen, dass es keine gibt). Erst wenn du gesehen hast, dass es eine gibt, sollst du eine finden.
Natürlich könnte man theoretisch erst eine Stammfunktion finden und angeben und hätte damit auch gezeigt, dass eine existiert.
(später nennst du deine hypothetische Stammfunktion übrigens $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ )

29.09.2013, 10:39

gigg0rn

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Ja gut, dass ich die Aufgabenstellung falsch formuliert hatte tut mir leid, mein Problem sollte aber ja trotzdem verstanden worden sein smile

Die Bedingungen an ein Vektorfeld sind doch meines Erachtens erstmal dass die Funktion differenzierbar ist. Daher ja auch meine Anfängliche Suche nach einer Stammfunktion. Wenn diese nicht existiert kann es ja gar kein Gradientenfeld sein. Wenn die Funktion dann differenzierbar ist, definiert die Zuordnung $\begin{eqnarray*} x\mapsto \nabla f(x) \end{eqnarray*}$ das Gradientenfeld. Damit kann ich persönlich aber irgendwie nichts anfangen und daher bringt mich das leider nicht weiter :/

29.09.2013, 10:42

Che Netzer

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Ja, Gradientenfelder sind Vektorfelder der Form $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ für ein skalares $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sogar zweimal differenzierbar ist, habt ihr eine Aussage über die Reihenfolge der zweiten Ableitungen. Daraus habt ihr sicher eine notwendige Bedingung hergeleitet, wann ein differenzierbares Vektorfeld ein Gradientenfeld ist. Was müssen die Ableitungen der Komponenten dieses Vektorfeldes dann nämlich erfüllen?

29.09.2013, 11:15

gigg0rn

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Oha, jetzt wirds schwierig.. In meinem Skript habe ich jetzt nichts zu dem Thema gefunden...
Hat es jetzt etwas mit der Integrabilitätsbedingung zu tun?
Also das jetzt
$\begin{eqnarray*} {{}} \frac{ \partial G_i }{ \partial x_j }(P) = \frac{ \partial G_j }{ \partial x_i }(P) \ \end{eqnarray*}$ für alle P aus meiner offenen Umgebung gelten muss?

29.09.2013, 11:28

Che Netzer

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Ja, genau das meinte ich!
Zunächst einmal muss noch angegeben, was $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ sind. Mit $\begin{eqnarray*} G_i \end{eqnarray*}$ ist in diesem Fall die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te Komponente von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gemeint.
Und ist diese Integrabilitätsbedingung in unserem speziellen Fall erfüllt?

29.09.2013, 11:40

gigg0rn

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Ich gehe jetzt mal davon aus, dass mein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und mein $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ die beiden ersten Ableitungen sind.
Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} G_i \end{eqnarray*}$ also in meinem Fall $\begin{eqnarray*} G_x \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ableite und dann analog mein $\begin{eqnarray*} G_y \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableite, dann bekomme ich heraus:
$\begin{eqnarray*} xcos(y)\neq 2xcos(y) \end{eqnarray*}$

Damit wäre die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt und es liegt kein Gradientenfeld vor?

29.09.2013, 11:48

Che Netzer

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Genau.

29.09.2013, 11:55

gigg0rn

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Vielen vielen Dank! Das rettet mir möglicherweise den Hintern smile

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