Leslie-Matrix

28.09.2013, 15:56	Tyler Durden	Auf diesen Beitrag antworten »
Leslie-Matrix Mit der nachstehenden Aufgabe tue ich mich schwer: Die Übergangsmatrix U= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & u & v \\ 0,4 & 0 & 0 \\ 0 & 0,25 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit u,v > 0 beschreibt die jährliche Veränderung innerhalb einer Tierart. Zeigen Sie, dass es für u=0,75 eine Altersverteilung gibt, die sich jährlich wiederholt. Wie viele Tier!e einer 180 köpfigen Herde gehören dann der jeweiligen Altersklasse an? Wie muss ich an diese Aufgabe herangehen? Danke
29.09.2013, 11:00	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit Leslie-Matrix Sei $\begin{eqnarray} \vec p =(x,y,z)^T \end{eqnarray}$ die Population. Der relative Anteil der Tiere in den einzelnen Altersklassen bleibt erhalten, wenn die Gleichung $\begin{eqnarray} U \cdot \vec p= \lambda \vec p \end{eqnarray}$ erfüllt ist mit einem reellen und positiven $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und einer von $\begin{eqnarray} (0,0,0)^T \end{eqnarray}$ verschiedenen Population. Die Population bleibt völlig unverändert, wenn das für $\begin{eqnarray} \lambda =1 \end{eqnarray}$ gilt. Bei der ersten Frage ist unklar, ob sich nur die relativen Anteile wiederholen sollen oder ob die Population völlig unverändert bleiben soll. Die zweite Frage ist nur sinnvoll, wenn die Population völlig unverändert bleibt. Deshalb ist vermutlich auch die erste Frage so gemeint. Du musst also schauen, unter welchen Bedingungen $\begin{eqnarray} U \cdot \vec p=\vec p \end{eqnarray}$ eine von $\begin{eqnarray} (0,0,0)^T \end{eqnarray}$ verschiedene Lösung hat. Anders formuliert, wann ist $\begin{eqnarray} \lambda =1 \end{eqnarray}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Daraus bekommst du das noch unbekannte $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Damit findest du die konstante Population mit $\begin{eqnarray} x+y+z=180 \end{eqnarray}$ .
29.09.2013, 17:37	Backes	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0,75 & v \\ 0,4 & 0 & 0 \\ 0 & 0,25 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann ergibt sich für mich folgendes Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} 0= -a+0,75\cdot b+v\cdot c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=0,4\cdot a-b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=0,25\cdot b-c \end{eqnarray}$ Und weiter?
29.09.2013, 22:19	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt versuche, das Gleichungssystem zu lösen. Eliminiere mittels der 2. und 3. Gleichung 2 Variablen aus der 1. Gleichung und ziehe dann deine Schlüsse.
30.09.2013, 11:44	Backes	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, nach dem ich b und c eliminiert habe bekomme ich folgendes: $\begin{eqnarray} -a+0,3a+0,1va= 0 \end{eqnarray}$ Nach Ausklammern von a ist das dann: $\begin{eqnarray} a\cdot \left(-0,7+0,1v\right)= 0 \end{eqnarray}$ also bleiben die Lösungen: a=0 v v=7 Was bedeutet das jetzt für den Sachzusammenhang?
30.09.2013, 12:06	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die mögliche Lösung $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ führt mit der 2. und 3. Gleichung auf $\begin{eqnarray} b = c = 0 \end{eqnarray}$ . Das ist die triviale Lösung, die nicht interessiert und mit der auch keine 180 Tiere zusammenkommen. Es verbleibt also die Lösung $\begin{eqnarray} v = 7 \end{eqnarray}$ . Damit ist die 1. Gleichung (nach Elimination von b und c) für beliebiges a erfüllt. Die zu einem gewählten a passenden b und c bekommst du wieder aus der 2. und 3. Gleichung. Damit hast du gezeigt, dass es für $\begin{eqnarray} v = 7 \end{eqnarray}$ Populationen gibt, die unverändert bleiben. Jetzt musst du nur noch a so bestimmen, dass die Gesamtzahl der Tiere 180 wird.
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30.09.2013, 12:12	Backes	Auf diesen Beitrag antworten »
Somit ist a=120; b=48 und c=12. Dankschön!

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