Verhältnis

28.09.2013, 21:39

judy1995

RE: Verhältnis

Aufgabe b:
[attach]31632[/attach]

also vorstellen kann ichs mir ja.. nur die begründung

Edit Equester: Lesbar gestaltet

28.09.2013, 21:42

Gast11022013

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Hast du dir denn schon einmal eine Skizze dazu gemacht um den Sachverhalt zu beschreiben?

Was heißt es, dass das Verhältnis von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ unabhängig ist?

Was benötigen wir für dieses Verhältnis? Welche Flächeninhalte und wie können wir diese berechnen?

Hier mal eine Skizze, wie es aussehen könnte:

28.09.2013, 21:46

judy1995

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ja genau die skizze hab ich auch um das verhältnis rauszubekommen brauchen wir den flächeninhalt unter dem Graphen was wir mit dem Integral [0;HP] von f(x) berechen können... aber wie mach ich das mit dem t ist unabhängig?

28.09.2013, 21:52

Gast11022013

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Bevor wir uns um die Frage mit dem "t ist unabhängig" widmen benötigen wir erstmal die beiden Flächeninhalte, die wir später ins Verhältnis setzten.

Dann ist das mit dem "t ist unabhängig" so eine Art "Abfallprodukt" der Rechnung.
Weißt du denn was damit gemeint ist, dass es von t unabhängig sein soll?

Wir haben ja vorhin unseren Hochpunkt in Abhängigkeit von t angegeben.

$\begin{eqnarray*} Hp \left(\sqrt{3}t\bigg|\frac{2}{\sqrt{3}}t^2\right) \end{eqnarray*}$

Wie bekommen wir also den Flächeninhalt unter der Kurve?
Wie bekommen wir den Flächeninhalt des verbliebenen Rechtecks?

28.09.2013, 21:56

judy1995

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Weißt du denn was damit gemeint ist, dass es von t unabhängig sein soll?
Nein, so richtig weiss ich nichts damit anzufangen wenn es von t unabhänig sein soll...

den Flächeninhalt A1 unter der Kurve mit dem Integral f(x) von 0 bis (wurzel3*t)...

und A2 = A(gesamt)-A1

28.09.2013, 22:02

Gast11022013

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Wenn ich dir mal die Ergebnisse

a) 2

b) 2t

nenne, was ist von t unabhängig? a) oder b)? Kannst du dir jetzt in etwa vorstellen was mit "unabhängig von t" gemeint ist?

Zitat:

den Flächeninhalt A1 unter der Kurve mit dem Integral f(x) von 0 bis (wurzel3*t)...

und A2 = A(gesamt)-A1

Das hört sich doch sehr gut an.

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\sqrt{3}t} \! -\frac{1}{9t}x^3+tx \, dx \end{eqnarray*}$

Dies müssen wir erstmal berechnen.

A(gesamt) beschreibt hier den Flächeninhalt des Rechtecks. Wie bekommen wir dessen Flächeninhalt raus?

28.09.2013, 22:06

judy1995

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okey dann ist das natürlich antwort a) ^^

A(gesamt)=x*y=(wurzel3*t)*(2/wurzel3 *t²)

28.09.2013, 22:09

Gast11022013

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Alles korrekt.

Und wie lautet der Flächeninhalt unterhalb der Kurve?

Kannst du dir nun vorstellen worauf die Rechnung hinausläuft?
Was werden wir in unserem Ergebnis auf jeden Fall nicht finden?

Edit: Den Flächeninhalt vom Rechteck kannst du natürlich auch noch zusammenfassen und solltest du auch. Das geht hier nämlich ganz schön, weil wir vorhin so toll umgeformt haben.

28.09.2013, 22:12

judy1995

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um das Integral auszurechnen brauch ich ja erstmal die Stammfunktion wo ich dann wurzel3*t einsetze...

F(x)= -1/(36t)*x^4+1/2t*x²

wenn ich nun wurzel3*t einsetzekomme ich auf

[-1/(36t)*(wurzel3*t)^4+1/2t*3*t²] stimmt das soweit?

28.09.2013, 22:16

Gast11022013

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Ja, wobei du es natürlich so aufschreiben solltest:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\sqrt{3}t} \! -\frac{1}{9t}x^3+tx \, dx=\left[-\frac{1}{36t}x^4+\frac{1}{2}tx^2\right]_{0}^{\sqrt{3}t} \end{eqnarray*}$

Hier kommst du dann um die Anwendung unseres Formeleditors nicht mehr unbedingt drum herum. Auch wenn ich bisher noch gut nachvollziehen kann was du meinst.

28.09.2013, 22:22

judy1995

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$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{36t} \cdot \sqrt{3} \cdot x+ \frac{1}{2}\cdot t\cdot 3\cdot t = \frac{1}{36t} \cdot \sqrt{3} \cdot x+\frac{3}{2}t^{2} \end{eqnarray*}$

wie fasse ich das nun weiter zusammen? oder was mach ich nun?

28.09.2013, 22:24

judy1995

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(wurzel 3*t)^4

28.09.2013, 22:26

Gast11022013

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Das unterscheidet sich nun aber schon etwas deutlicher von dem was du vorhin angegeben hattest.

Zitat:

[-1/(36t)*(wurzel3*t)^4+1/2t*3*t²]

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{36}\cdot \left(\sqrt{3}t\right)^4+\frac12t\cdot 3\cdot t^2 \end{eqnarray*}$

Was ja völlig korrekt war. Hier hättest du noch den Teil mit dem hoch 4 vereinfachen können.

In deiner neu angegebenen Form sind recht viele Fehler enthalten. Zum Beispiel taucht hier wieder ein x auf. Das darf natürlich nicht sein. Ebenso unterschlägst du Potenzen.

Arbeite also mit obiger Form weiter. "Beseitige" erstmal das hoch 4. Danach kannst du wieder kürzen und zusammenfassen.

28.09.2013, 22:37

judy1995

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$\begin{eqnarray*} = - \frac{1}{36t} \cdot (\sqrt{3}t)^{4} +\frac{3}{2}t^{3} = \frac{1t^{4} }{36t}\cdot \sqrt{3}^{4} +\frac{3}{2}t^{3} = \frac{1t^{3} }{36} \cdot \sqrt{3}^{4} +\frac{3}{2}t^{3} \end{eqnarray*}$

28.09.2013, 22:41

Gast11022013

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Ja (abgesehen vom fehlendem negativen Vorzeichen nach der ersten Umformung), und was ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}^4 \end{eqnarray*}$ ? Dazu könntest du auch noch in den anderen Thread gucken. Da kam dieser Ausdruck auch vor.

28.09.2013, 22:42

judy1995

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kann man $\begin{eqnarray*} \frac{1t^{3} }{36} \cdot \sqrt{3}^{4} \end{eqnarray*}$ nicht zusammenfassen zu 1/4t²???

28.09.2013, 22:44

Gast11022013

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Ja, das geht. Auch wenn es richtigerweise

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}t^3 \end{eqnarray*}$ lauten sollte. Beachte das negative Vorzeichen und das hoch 3 anstatt hoch 2, wobei ich bei beidem einfach von einem Tippfehler bzw. Schusselfehler ausgehe.

28.09.2013, 22:45

judy1995

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aber was bringt mir jetzt 7/4t² = A1???

28.09.2013, 22:47

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} -\frac14t^3+\frac32t^3\neq \frac74t^3 \end{eqnarray*}$

Überprüfe noch einmal.

28.09.2013, 22:47

judy1995

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entschuldigung ich meine 5/4t²=A1

28.09.2013, 22:51

Gast11022013

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Du meinst wohl

$\begin{eqnarray*} \frac54t^3=A_1 \end{eqnarray*}$

Wir wissen nun, dass die Fläche unterhalb der Funktion. Jetzt brauchen wir noch die andere Fläche.

Dazu hattest du ja schon genannt:

$\begin{eqnarray*} A_2=A_{\text{gesamt}}-A_1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

A(gesamt)=x*y=(wurzel3*t)*(2/wurzel3 *t²)

28.09.2013, 22:55

judy1995

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$\begin{eqnarray*} A(gesamt)= \sqrt{3}t\cdot \frac{2}{\sqrt{3} }t^{2} = t\cdot 2t^{2} = 2\cdot t^{3} \end{eqnarray*}$ simmt das?

28.09.2013, 22:58

judy1995

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A2= 2t^{3}- \frac{5}{4}t^{3}
= \frac{3}{4}t^{3}

28.09.2013, 23:00

judy1995

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$\begin{eqnarray*} A2= 2t^{3}- \frac{5}{4}t^{3} = \frac{3}{4}t^{3} \end{eqnarray*}$

28.09.2013, 23:02

Gast11022013

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Das ist korrekt.

Wir haben also

$\begin{eqnarray*} A_1=\frac54t^3 A_2=\frac34t^3 \end{eqnarray*}$

Das sollen wir nun ins Verhältnis setzen.

$\begin{eqnarray*} \frac{A_1}{A_2} \end{eqnarray*}$

28.09.2013, 23:05

judy1995

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\frac{3}{4}t^{3} = - \frac{5}{4} t^{3}

und dann sieht man das für t (xbeliebig) das verhältnis nicht 1:5/3 nicht beeinträchtigen

28.09.2013, 23:09

Gast11022013

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}t^{3} = - \frac{5}{4} t^{3} \end{eqnarray*}$

Wir müssen die beiden Flächen ins Verhältnis setzten. Ich verstehe deine Rechnung nicht. Die macht nämlich nicht unbedingt Sinn.

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac54t^3}{\frac34t^3} \end{eqnarray*}$

28.09.2013, 23:11

judy1995

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naja t^3 kürzt sich ja weg oder?... und $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{5}{4} }{\frac{3}{4} }= \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

28.09.2013, 23:13

Gast11022013

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Ganz genau.
Wir haben also auch die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , was ja laut Aufgabenstellung zu zeigen war.

28.09.2013, 23:14

judy1995

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also langsam macht es echt spaß ;D...

noch lust auf den ansatz von c?... d bekomm ich allein hin

28.09.2013, 23:19

Gast11022013

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Das ist schön.

Gern geschehen.

Wie vorhin solltest du die nächste Teilaufgabe in einem neuem Thread stellen.
Da könnte dir dann auch jemand anders helfen. Scheint einige hier ja zu stören, dass ich heute schon so viel geholfen habe...

28.09.2013, 23:22

judy1995

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oh nein wen stört den das... bitte nicht ich komm grad so gut klar :/

28.09.2013, 23:25

Equester

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@Gmasterflash:
Das sollte kein Problem sein. Mach ruhig weiter, du hast dich mit judy ja schon eingearbeitet Augenzwinkern

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