Ausschussermittlung

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02.03.2007, 12:09	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausschussermittlung Fuer die statistische Qualitaetskontrolle bei der Produktion von Teilen will ich empirisch die Ausschussquote bestimmen. Das Merkmal X ist N(µ, $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ^2)-verteilt, µ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ^2 unbekannt. Der Ausschussbereich ist mit x<a oder x>b vorgegeben, also fuer a <= x <= b ist das Teil gut. Ich habe anhand einer Stichprobe durch Intervallschaetzung zwei Konfidenzintervalle ermittelt, eines fuer den Erwartungswert µ, eines fuer die Varianz $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ^2, jeweils mit einem Konfidenzniveau von 99 %. Mir ist jetzt nicht ganz klar, wie ich weiter machen soll. Eines weiss ich: Das Konfidenzintervall fuer µ ist der Bereich, in dem bei jeder Stichprobe (gleichen Umfangs) der mittlere Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % liegt, aber es ist NICHT der Bereich, in dem mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % JEDES zufaellig gewaehlte x liegt. Das waere zu schoen. Ich kann also aus dem Konfidenzintervall noch nicht die Ausschussquote direkt ableiten. Vielmehr muss ich doch mit N(µ, $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ^2) selbst arbeiten, also der Integration unter der Glockenkurve. Ich habe mir jetzt folg. ueberlegt: Wenn K1=[µ1, µ2] und K2=[ $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ 1^2, $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ 2^2] meine beiden Konfidenzintervalle fuer µ bzw $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ^2 sind, nehme ich zuerst einfach die beiden kleinsten Schaetzwerte als Parameter, also µ=µ1, $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ^2= $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ 1^2, und berechne N(µ, $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ^2) ueber dem Intervall [a,b]. Ich erhalte die Wahrscheinlichkeit p1, mit der ein hergestelltes Teil gut ist, natuerlich nur mit einer Vetrauenswahrscheinlichkeit von 99 % * 99 %, also letztendlich erhalte ich die Wahrscheinlichkeit p1 * 0,99 * 0,99. Das gleiche mache ich mit den beiden groessten Schaetzwerten, also µ=µ2, $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ^2= $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ 2^2, integriere wieder ueber [a,b] und erhalte p2 * 0,99 * 0,99. Das Minimum von p1 * 0,99 * 0,99 und p2 * 0,99 * 0,99 nehme ich jetzt endgueltig als Mindest-Wahrscheinlichkeit p, mit der ein hergestelltes Teil gut ist, d.h. Ausschussquote < 1-p. Frage: Ist das alles richtig, wie ich es machen will ????? Zumindest quaelt mich die Frage, ob ich nicht auch noch mit kleinstem µ und groesstem $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ^2 und umgekehrt rechnen sollte, also mit N(µ1, $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ 2^2) und N(µ2, $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ 1^2), und dann aus 4 Wahrscheinlichkeiten p1,...,p4 das Minimum nehme. Andererseits ist doch aber eigentlich nur die groesste Streuung ausschlaggebend, denn je groesser die Streuung, desto groesser die Ausschussquote bei festem µ und Intervall [a,b], oder irre ich mich da ? Fuer Hilfe waere ich dankbar, xooops.
02.03.2007, 12:49	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ausschussermittlung Dein Ansatz mit den beiden Konfidenzintervallen wird leider nichts. Die Varianz ist gamma-verteilt und der Mittelwert normalverteilt (nehmen wir zumindest an). Für das Konfidenzintervall bildet du das Produkt bzw. Summe/Differenz. Ich wüsste jetzt nicht, was die Verteilung hiervon sein soll. Allerdings sehe ich das Problem auch nicht. Wenn du einfach dein Konfidenzintervall für $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ aufstellst, hast du doch schon alles?
02.03.2007, 13:19	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ausschussermittlung Danke fuer die Antwort, aber ich verstehe sie nicht. Zur Klaerung: Mit den beiden Konfidenzintervallen habe ich lediglich eine Intervallschaetzung fuer die beiden unbekannten Parameter der Normalverteilung $\begin{eqnarray} N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ gemacht. Ich koennte natuerlich auch eine Punktschaetzung machen, das wuerde mir natuerlich vieles vereinfachen, aber ich finde Punktschaetzung zu unsicher. Nur den Parameter $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ zu schaetzen, reicht nicht aus, denn ich brauche doch auch die Varianz.
02.03.2007, 13:25	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ausschussermittlung Das Konfidenzintervall bzw. dessen Grenzen sind Zufallsvariablen, der Parameter (der Grundgesamtheit!) $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ hingegen nicht. Das bedeutet, dass in deinem Fall mit 99%-iger Sicherheit der Mittelwert aller Stichproben in diesem Intervall liegt. Wenn du etwas über die Einzelwerte aussagen möchtest, müsste du deren Verteilung kennen! Da hilft dir aber kein Grenzwertsatz. Wie hast du eigentlich dein Konfidenzintervall berechnet? Du brauchst nur eine Punktschätzung des Mittelwertes und der Varianz, um eine Intervallschätzung vorzunehmen. Formel: $\begin{eqnarray} \bar X\pm t\cdot s_{\bar X} \end{eqnarray}$ . Übrigens bitte $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ im Zähler bei der Varianzschätzung verwenden.
02.03.2007, 14:21	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ausschussermittlung Ja, die Varianz habe ich mit der empirischen Varianz punktgeschaetzt und dabei selbstverstaendlich mit n-1 gerechnet. $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ habe ich mit dem Stichprobenmittel punktgeschaetzt. Wenn ich dich richtig verstehe, meinst du, dass ich auf die Konfidenzintervalle verzichten und sofort mit den punktgeschaetzten Parametern rechnen soll. Meine Ausschussquote waere dann $\begin{eqnarray} 1-(N(\mu,\sigma^2)(b)-N(\mu,\sigma^2)(a)) \end{eqnarray}$ , wobei [a,b] der Bereich ist, in dem ein Werkstueck gut ist. Aber wie sicher ist es, mit einer Normalverteilung zu rechnen, bei dem die Parameter nur punktgeschaetzt sind ? Natuerlich liegt gerade mein Stichprobenmittel immer im Konfidenizintervall, wie du richtig sagst, und zwar egal, welches Konfidenzniveau ich waehle. Ich dachte, ich muesste aber auch die beiden Grenzen meines Konfidenzintervalls als Parameter $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ einsetzen, denn dadurch "verschiebt" sich ja die Glockenkurve in "horizontaler" Richtung, was sich auf die Verteilung in [a,b] auswirkt. Dass die Grenzen eines Konfidenzintervalls Zufallsvariablen sind, weiss ich, aber warum spielt das eine Rolle ? Ich will sie doch nur als untere bzw. obere Grenze von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ benutzen. Wenn das nicht geht, verstehe ich das ganze Thema Parameterschaetzung nicht.
02.03.2007, 19:19	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ausschussermittlung Ich weiß ehrlich gesagt nicht, ob wir vielleicht schon die ganze Zeit dasselbe meine, aber aneinader vorbei reden. Der Grundgesamtheitsparameter $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ besitzt keine Verteilung, da er nicht stochastisch ist. (Für alle, die kleinlich sind, er ist einpunkt-verteilt, d. h. die Varianz ist null.) Dein Stichprobenschätzer $\begin{eqnarray} \bar X \end{eqnarray}$ hingegen ist bei hinreichend großem Stichprobenumfang $\begin{eqnarray} n>30 \end{eqnarray}$ nach dem zentralen Grenzwertsatz approximativ normalverteilt mit $\begin{eqnarray} \text{E}(\bar X)=\mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \text{var}(\bar X)=\sigma_{\bar X}^2 \end{eqnarray}$ . (Nochmal, dies ist die Verteilung des Stichprobenschätzers, nicht des Grundgesamtheitsparameters!) Auf dieser Basis kannst wie in meiner letzten Antwort angegeben ein beliebiges Konfidenzintervall aufschlagen, $\begin{eqnarray} \bar X-t\cdot s_{\bar X}\leq\mu\leq\bar X+t\cdot s_{\bar X} \end{eqnarray}$ . Dies bedeutet jedoch nicht, dass dein Grundgesamtheitsparameter $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ immer im Konfidenzintervall liegt, sondern nur mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} 1-\alpha \end{eqnarray}$ . Das ist übrigens im Allgemeinen der Sinn von Parameterschätzungen, auf Basis der Stichprobe eine Aussage über die unbekannte Grundgesamtheit zu treffen. Wenn du jetzt das Konfidenzintervall als $\begin{eqnarray} a\leq\mu\leq b \end{eqnarray}$ schreibst und auflöst, hast du es doch, oder? Noch zwei Gedanken, die mir sonst in den Sinn gekommen sind. Erstens ist dein Merkmal selbst bereits normalverteilt? Und zweitens suchst du eigentlich einen Anteilswert und keinen Mittelwert?
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02.03.2007, 19:56	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, mein Merkmal ist normalverteilt ! Das habe ich bereits in meinem ersten posting gesagt. Ansonsten wuerde ich ja auch nicht versuchen, die Parameter einer Normalverteilung zu schaetzen. Deine Frage, ob ich einen Anteilswert suche, bejahe ich. Letztendlich interessiert mich, eine statistische Aussage ueber den zu erwartenden bzw. wahrscheinlichen Ausschuss zu bekommen. Sonst nix. Wenn du irgendeine Methode dafuer weisst, waere ich dir dankbar, wenn du sie mir schreibst. Ich bin eben nur auf diese Intervallschaetzung gestossen und habe mich da vielleicht festgebissen.
02.03.2007, 20:42	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wäre mein Vorschlag folgender. Stell die Normalverteilung mit den geschätzten Parametern auf, diese sind erwartungstreu. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $\begin{eqnarray} X\leq b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X\geq a \end{eqnarray}$ . Die Fläche außerhalb der Verteilungsfunktion an diesen beiden Stellen ist dann dein Anteilswert des Ausschuss. Das ist allerdings der theoretische Fall. Im empirischen Fall einfach Abzählen.
06.03.2007, 03:09	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so habe ich es auch gemacht !!!!!!!!!! thx, xooops

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