signiertes Maß; Hahn-Zerlegung

29.09.2013, 15:49	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
signiertes Maß; Hahn-Zerlegung Meine Frage: Hallo Mathematiker, ich habe eine Frage zur Hahn-Zerlegung. Meine Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass durch $\begin{eqnarray} \mu((0,x]) = e^{2x}-e^x \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (\mathbb R,B) \end{eqnarray}$ eine signierte Maßfunktion festgelegt wird und bestimmen Sie eine Hahn-Zerlegung von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Per Definition muss ein signiertes Maß folgende Punkte erfüllen: 1.) auf einem Sigmaring definiert sein, 2.) als Wertebereich entweder $\begin{eqnarray} (-\infty,\infty] \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} [ -\infty,\infty) \end{eqnarray}$ haben und 3.) sigmaadditiv sein. Zu 1.) da die Potenzmenge der reellen Zahlen nicht nur ein Sigmaring, sondern sogar eine Sigmaalgebra ist, ist der erste Punkt erfüllt. Zu 2.) Da der Wertebereich dieser Funktion $\begin{eqnarray} [0,\infty] \end{eqnarray}$ ist, ist auch dieses Kriterium erfüllt. Zu 3.) Ich weiß leider nicht genau, wie ich das beweisen soll. Ich hätte zuerst mal definiert: $\begin{eqnarray} \mu((0,x]\Cup(0,y]) = (e^{2x}-e^x) + (e^{2y}-e^y) \end{eqnarray}$ . Stimmt das soweit und wie mach ich dann weiter? Zum zweiten Teil: Mir ist klar, dass ich eine $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ -positive und eine $\begin{eqnarray} \mu- \end{eqnarray}$ negative Menge finden muss, aber wie man bei der Bestimmung einer Hahn-Zerlegung i.A. konkret vorgeht, weiß ich leider nicht. LG

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