Stetigkeit einer Funktion >>> pq-Formel

29.09.2013, 21:08

Rudi Ratlos

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Stetigkeit einer Funktion >>> pq-Formel

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{2}-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ;x\leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+3x-10 }{x^{2} -3x+2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$

Berechnung d. li. Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{2} -1=2\cdot 4-1=7 \end{eqnarray*}$

Berechnung d. re. Grenzwert:
Anwendung d. pq-Formel:
$\begin{eqnarray*} x_{12}=- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{3}{2} ^{2} /4-10} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich mit diesem blöden Bruch ein Problem und komme nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{9}{4}-10} =\frac{9}{4}:\frac{40}{4} =\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{40} =\frac{36}{160}= \frac{9}{40} \end{eqnarray*}$

Kann mir hier bitte jemand helfen?

29.09.2013, 21:33

10001000Nick1

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Meinst du diese Funktion?
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}2x^2-1 & \mbox{falls } x\leq 2 \\ \frac{x^2+3x-10}{x^2+3x-2} & \mbox{falls } x>2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Was sollst du dann überhaupt machen? Die Stetigkeit der Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ überprüfen?

Und was machst du mit der pq-Formel?

30.09.2013, 10:49

Rudi Ratlos

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Ja ich meine genau diese Funktion und es muss die Stetigkeit für x2 überprüft werden.
Mit der pq-Formel möchte ich den Bruch für den re. Grenzwert, also x>2, überprüfen

30.09.2013, 10:54

10001000Nick1

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Du möchtest sicherlich damit die Nullstellen des Zählers bestimmen. Aber du hast da beim Einsetzen in die pq-Formel einen Fehler gemacht. Das, was in der Wurzel steht, stimmt nicht.

30.09.2013, 17:30

Rudi Ratlos

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Das habe ich mir schon gedacht. Ich komme jedoch immer wieder auf den gleichen Rechenweg:

Berechnung in der Wurzel:
p=3; q=10

$\begin{eqnarray*} {\frac{\frac{3}{2} }{4}} ^{2} -10=\frac{9}{4} :\frac{16}{4}=\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{16} =\frac{36}{64}=\frac{9}{16}-\frac{160}{16}=-\frac{151}{16} \end{eqnarray*}$

30.09.2013, 17:50

10001000Nick1

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q=-10

Warum steht denn da am Anfang
$\begin{eqnarray*} {\frac{\frac{3}{2} }{4}} ^{2} \end{eqnarray*}$
Da muss $\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{4} \end{eqnarray*}$ hin, also $\begin{eqnarray*} \frac{3^2}{4}=\frac{9}{4} \end{eqnarray*}$ . Komischerweise bist du ja danach trotzdem auf diesen Bruch gekommen.

Aber die ganzen anderen Umformungen versteh ich nicht. Wieso wird aus dem - auf einmal ein : ? Und warum wird aus 10 der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{16}{4} \end{eqnarray*}$ ???

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30.09.2013, 21:15

Rudi Ratlos

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Oh da habe ich mich beim Einsetzen der Werte in die Formel tüchtig verhaspelt.
Also lautet die korrekte Formel jetzt:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=- \frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}-10 } \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=- \frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{40}{4} } \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=- \frac{3}{2}\pm \sqrt{-\frac{31}{4} } \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich mit der Bruchrechnung nicht weiter!
Mein Vorschlag wäre:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=- \frac{3}{2}\pm (-\frac{31}{4} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=- \frac{6}{4}\pm (-\frac{31}{4} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=- \frac{6}{4}\ - \frac{31}{4} =-\frac{37}{4}=x_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=- \frac{6}{4}\ + \frac{31}{4} = \frac{25}{4}=x_{2} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis befriedigt mich jedoch nicht wirklich Lesen2

Lesen2

30.09.2013, 21:31

10001000Nick1

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Wenn es tatsächlich so wäre, wie du gerechnet hast, hättest du gar keine (reelle) Lösung, denn dann würde etwas negatives in der Wurzel stehen.

Aber das ist sowieso falsch, denn q=-10. In der Wurzel musst du dann -q rechnen, d.h. da muss stehen -(-10)=+10.

30.09.2013, 21:47

Rudi Ratlos

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Das heißt, in der Klammer darf kein negatives Ergebnis entstehen?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{9}{4} +\frac{40}{4} }=\frac{49}{4}=\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

Damit würden sich folgende Werte für x1 und x2 ergeben:

$\begin{eqnarray*} x_{1} =- \frac{3}{2} +\frac{7}{2} =\frac{4}{2}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} =- \frac{3}{2} -\frac{7}{2} =-\frac{10}{2}=-5 \end{eqnarray*}$

30.09.2013, 21:50

10001000Nick1

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Wenn in der Wurzel eine negative Zahl steht, kommt da eine komplexe Zahl raus. Ich weiß nicht, ob ihr das in der Schule schon hattet. Bei mir war es so, dass wir dann immer gesagt haben, dass die Gleichung keine Lösung hat.

Deine Ergebnisse sind jetzt richtig. Was machst du jetzt damit?

30.09.2013, 21:55

Rudi Ratlos

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Das Ergebnis wird als Zähler in den Bruch eingesetzt. Jetzt muss noch der Nenner mittels pq-Formel ausgerechnet werden.

30.09.2013, 21:58

10001000Nick1

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Naja, vielleicht etwas unglücklich formuliert, aber du meinst betimmt das richtige. Man jetzt nicht das Ergebnis ein, das du da ausgerechnet hast, sondern setzt in diese Formel ein: $\begin{eqnarray*} x^2+3x-10=(x-x_1)(x-x_2)=(x-2)(x+5) \end{eqnarray*}$
Das musst du dann einsetzen.

Und ja, jetzt machst du das gleiche nochmal mit dem Nenner.

Ich muss jetzt weg, wir können dann morgen weitermachen. Gute Nacht! Wink

Wink

30.09.2013, 22:05

Rudi Ratlos

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Ich möchte mich schon mal recht herzlich für deine Hilfe bedanken. Gute Nacht Freude

Freude

30.09.2013, 22:31

Rudi Ratlos

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Für den Nenner gilt:

$\begin{eqnarray*} x^{2} +3x-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} =- \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2} }{4} -q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} =- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{3^{2} }{4} -2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} =- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} -\frac{8}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} =- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$

aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$ kann ich keine Wurzel ziehen, also:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} =- \frac{3}{2} \pm \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} =- \frac{6}{4} + \frac{1}{4} =-\frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} =- \frac{6}{4} - \frac{1}{4} =-\frac{7}{4} \end{eqnarray*}$

Die Ergebnisse sind jetzt aber unglücklich, um sie in den Nenner einzusetzen.

01.10.2013, 19:23

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Rudi Ratlos
Für den Nenner gilt:

$\begin{eqnarray*} x^{2} +3x-2 \end{eqnarray*}$

Nein. Es ist $\begin{eqnarray*} x^2-3x+2. \end{eqnarray*}$ Du hast dann da auch ein falsches p eingesetzt. Das musst du nochmal machen.

Zitat:

Original von Rudi Ratlos
aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$ kann ich keine Wurzel ziehen

Wieso nicht? $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt {a}}{\sqrt{b}}\text{, falls }a\geq 0, b>0. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Rudi Ratlos
$\begin{eqnarray*} x_{1/2} =- \frac{3}{2} \pm \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Wieso lässt du da einfach die Wurzel weg? geschockt

geschockt

Also, wie gesagt: Fang nochmal an, alles in die pq-Formel einzusetzen.

01.10.2013, 21:27

Rudi Ratlos

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Ich hatte wieder mit dem Wurzelziehen Probleme. Ich denke jetzt sieht es besser aus

$\begin{eqnarray*} x^{2} - 3x+ 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2} }{4} -q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1/2}=-\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{3^{2} }{4} -2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1/2}=-\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} -2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1/2}=-\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} -\frac{8}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1/2}=-\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1/2}=-\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} =- 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=- \frac{3}{2} - \frac{1}{2} =- 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} - 3x+2=(x-x_{1} )(x-a_{2} )=(x-2)(x-5) \end{eqnarray*}$

01.10.2013, 21:33

10001000Nick1

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Du hast wieder den Fehler mit dem Vorzeichen gemacht: $\begin{eqnarray*} -\frac{p}{2}=-\frac{-3}{2}=\textcolor{red}{+}\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
Sonst stimmt es. Die Lösungen sind dann: $\begin{eqnarray*} x_1=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1, x_2=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Rudi Ratlos
$\begin{eqnarray*} x^{2} - 3x+2=(x-x_{1} )(x-a_{2} )=(x-2)(x-5) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf?

Noch ein Tipp: Du solltest bei einer Bezeichnung für die Variablen bleiben. Mal schreibst du $\begin{eqnarray*} x_{1,2} \end{eqnarray*}$ , dann mal wieder $\begin{eqnarray*} a_{1,2} \end{eqnarray*}$ .

01.10.2013, 21:39

Rudi Ratlos

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Fehler

Finger1

$\begin{eqnarray*} x_{1}=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=-2 \end{eqnarray*}$

Stimmt, Vorzeichen und Wurzelziehen bereiten mir wirklich Probleme.

Die Lösung lautet dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)(x+5)}{(x-2)(x-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+5)}{(x-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+5)}{(x-1)} =\frac{7}{1}=7 \end{eqnarray*}$

01.10.2013, 21:42

Rudi Ratlos

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Danke für den Tipp. Die wechselnde Bezeichung kommt durch den Formeleditor hier. Ich vergesse manchmal das x für´s a einzusetzen

01.10.2013, 21:44

10001000Nick1

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Du hast jetzt also den rechtsseitigen Grenzwert bestimmt. Was kannst du jetzt über die Stetigkeit der Funktion aussagen?

01.10.2013, 21:53

Rudi Ratlos

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linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert ergeben den Wert 7, also ist die Funktion stetig.

01.10.2013, 21:54

10001000Nick1

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Richtig!

Freude

01.10.2013, 21:55

Rudi Ratlos

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PERFEKT!!! Vielen Dank für deine Hilfe Gott

Gott

01.10.2013, 21:56

10001000Nick1

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Gern geschehen. smile

smile

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