Betrag von ln x integrieren

30.09.2013, 02:42

Xbf

Betrag von ln x integrieren

Hallo,
ich hänge an folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray*} \int_{\frac{1}{e}}^e |\ln(x)| \dx \end{eqnarray*}$ .

Was ich bisher habe:
$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{1}{e}}^e |\ln(x)| \dx=\int_{\frac{1}{e}}^1 |\ln(x)| \dx+\int_1^e |\ln(x)| \dx=\left[\left|x\cdot \ln(x)-x\right|\right ]_{\frac{1}{e}}^1+\left[\left|x\cdot \ln(x)-x\right|\right ]_1^e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|1\cdot\ln(1)-1|-|\frac{1}{e}\cdot\ln(\frac{1}{e})-\frac{1}{e}|+|e\cdot\ln(e)-e|-|1\cdot\ln(1)-1|=1-\frac{2}{e}-1 \end{eqnarray*}$
Die letzte "-1" muss positiv sein. Diese wird positiv, wenn ich die Betragsstriche im zweiten Integral weglasse, aber das kann ich nicht einfach machen. Oder müssen die sogar weg, weil $\begin{eqnarray*} \ln(x) \end{eqnarray*}$ nicht negativ werden kann?
Wenn mir jemand sagen könnte, was ich falsch gemacht habe, wäre ich sehr dankbar.

Grüße
Xbf

30.09.2013, 07:55

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} \int \ln|x| \dx=x\cdot \ln|x|-x\neq |x\cdot \ln(x)-x| \end{eqnarray*}$

Warum teilst du das Integral eigentlich auf? Da kommt man zwar trotzdem auf das richtige Ergebnis, es ist aber unnötige Schreibarbeit?

Kann es sein, dass du nicht einfach nur das Integral, sondern die Fläche unter der Kurve bestimmen sollst? Dann müsstest du natürlich aufteilen, da die Kurve im Intervall [1/e,1) unterhalb der x-Achse verläuft.

EDIT: Ich sehe gerade, dass die Funktion ja $\begin{eqnarray*} |\ln(x)| \end{eqnarray*}$ war, nicht $\begin{eqnarray*} \ln|x| \end{eqnarray*}$ . Bist du dir sicher, dass die Funktion richtig ist? Denn wolframalpha und integralrechner.net sind nicht in der Lage, diese Funktion zu integrieren.

30.09.2013, 11:28

Huggy

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@Xbf
Nach der Aufspaltung des Integrals hättest du vor dem Integrieren die Betragsstriche eliminieren können. Im Intervall $\begin{eqnarray*} [1/e, 1] \end{eqnarray*}$ gilt nämlich $\begin{eqnarray*} |\ln x| =- \ln x \end{eqnarray*}$ und in dem Intervall $\begin{eqnarray*} [1,e] \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |\ln x| =\ln x \end{eqnarray*}$ .

Du hast unterstellt, wenn $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ nicht das Vorzeichen ändert, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b |f(x)|dx=|F(b)|-|F(a)| \end{eqnarray*}$

Das stimmt aber nicht allgemein, weil Stammfunktionen nur bis auf eine Konstante definiert sind. Eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ kann trotz des einheitlichen Vorzeichens von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ im betrachteten Intervall das Vorzeichen wechseln oder ganz ein anderes Vorzeichen als $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ haben.

Bei deinem zweiten Teilintegral ist $\begin{eqnarray*} \ln x \geq 0 \end{eqnarray*}$ , deine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} x \ln x-x \end{eqnarray*}$ ist in dem Intervall aber $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ . Deshalb passt das mit deinen Betragsstrichen nicht.

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Bist du dir sicher, dass die Funktion richtig ist? Denn wolframalpha und integralrechner.net sind nicht in der Lage, diese Funktion zu integrieren.

Wolframalpha macht das doch!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Int...1%2FE%2CE%7D%5D

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