Fläche Vektorfeld

30.09.2013, 18:14	Bamdibum	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche Vektorfeld Hallo, ich bin wieder über ein Problem bei einer Aufgabe gestolpert, komme leider nicht weiter.... Angabe: Folgende Fläche im Raum ist gegeben: $\begin{eqnarray} S=\left\{ (x,y,z)\in \mathbb R^3: x^2+y^2\leq 4,z=8-(x^2+y^2)^{\frac{3}{2} } \right\} \end{eqnarray}$ Dazu dieses Vektorfeld: $\begin{eqnarray} \vec{V}(x,y,z)=(y^3,0,0) \end{eqnarray}$ Die Aufgabe: Berechnen Sie, mit einem geeigneten Integralsatz, $\begin{eqnarray} \int_S \! (rot\vec{V})\vec{n}\, dS \end{eqnarray}$ wobei der Einheitsnormalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ zur z-Achse hin orientiert sei. Ansatz: Bei der Fläche wende ich Polarkoordinaten an, sage also $\begin{eqnarray} r^2=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ , somit: $\begin{eqnarray} r\leq 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq\varphi\leq2\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=8-(r^2)^{\frac{3}{2}}=8-r^3 \end{eqnarray}$ Somit könnte ich die Fläche mit r und $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ parametrisieren. Das Problem, ich verstehe das Integral nicht ^^' Was soll da berechnet werden? Es scheint ja, als wäre die gesamte Fläche gefordert und nicht nur der Rand, aber es steht nur ein Integral dort. Kann jemand helfen? Danke für die andauernde Hilfe =)
30.09.2013, 20:42	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, es soll die Rotation des Feld $\begin{eqnarray} \vec V \end{eqnarray}$ durch die Flaeche S berechnet werden. Wende dazu den Satz von Stokes an: $\begin{eqnarray} \iint_{S\,\subset \,\mathbb R^3}\mathrm{rot}(V) \cdot \vec{n}\;\mathrm{d} S = \oint_{\partial S} V\cdot\mathrm d r \end{eqnarray}$ Beste Gruesse, chris
30.09.2013, 22:37	Bamdibum	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also das d.h. ich rechne das Kurvenintegral $\begin{eqnarray} \oint_{\partial S} V\cdot\mathrm d r \end{eqnarray}$ aus: Ich bleibe somit am Rand der Fläche, somit lautet die Parametrisierung: $\begin{eqnarray} 0\leq \varphi \leq2\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=8-r^3=8-8=0 \end{eqnarray}$ Nun zur Kurve: $\begin{eqnarray} x(\varphi)=\begin{pmatrix} 2cos(\varphi) \\ 2sin(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x'(\varphi)=\begin{pmatrix} -2sin(\varphi) \\ 2cos(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit lautet das Kurvenintegral: $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} \! \begin{pmatrix} 8sin^3(\varphi) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2sin(\varphi) \\ 2cos(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix} \, d\varphi= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} \! -16sin^4(\varphi) \, d\varphi=-12\pi \end{eqnarray*}$ Ist das so in Ordnung?
01.10.2013, 09:35	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis ist korrekt.
01.10.2013, 09:47	Bamdibum	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielen Dank

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »