Rechnen mit dem Summenzeichen

30.09.2013, 19:50

h1151874

RE: Rechnen mit dem Summenzeichen

Hallo!

Ich muss das Bsp vereinfachen soweit es geht, weiß aber nicht, wo ich anfangen soll?

$\begin{eqnarray*} (x-1) \sum\limits_{i=1}^n x^{i} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, mir kann jemand weiter helfen.

LG

30.09.2013, 20:16

Guppi12

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Hallo,

als ersten Schritt könntest du doch mal die Klammer ausmultiplizieren. Was erhälst du dann?

Schreibe dir diese Summe am besten auch einmal aus, zum Beispiel mit n=3. Dann bekommst du ein Gefühl dafür.

30.09.2013, 20:28

h1151874

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ok..

soetwa:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n x ( x-1) = \sum\limits_{i=1}^n x^{2} -x \end{eqnarray*}$

LG

30.09.2013, 20:38

Guppi12

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Nein, wohin ist denn das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ verschwunden?

Und hast du das schon gemacht:

Zitat:

Schreibe dir diese Summe am besten auch einmal aus, zum Beispiel mit n=3. Dann bekommst du ein Gefühl dafür.

30.09.2013, 20:43

h1151874

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ahja also so:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n x^{i} ( x-1) = \sum\limits_{i=1}^n x^{2i} -x^{i} \end{eqnarray*}$

also wenn ich da z.b. 3 einsetze kommt ja, das raus, oder?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n x^{2*1} -x^{1} +x^{2*2} -x^{2} +x^{2*3} -x^{3} \end{eqnarray*}$

30.09.2013, 20:53

Guppi12

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Du hast dich da verrechnet.

$\begin{eqnarray*} x^i\cdot x = x^{2i} \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig. Denke darüber noch einmal nach oder schlag die Potenzgesetze nach. Wenn du da das richtige raushast, teile die Summe in zwei Summen auf.

01.10.2013, 09:43

h1151874

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ahja

also wäre das jetzt so, oder??
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n x^{i +1} - x^{i} \end{eqnarray*}$

01.10.2013, 12:32

Guppi12

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Ja. Schreibe dir diese Summe mal aus für ein paar verschiedene n und schau, was rauskommt.

01.10.2013, 12:58

HAL 9000

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Da der Thread so schön "Rechnen mit dem Summenzeichen" heißt, hier noch ein Hinweis zur richtigen Verwendung des Summensymbols:

Man sollte hier $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \left( x^{i+1} - x^i \right) \end{eqnarray*}$ schreiben, denn streng genommen bedeutet

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x^{i+1} - x^i = \left( \sum_{i=1}^n x^{i+1} \right) - x^i \end{eqnarray*}$ ,

was hier ja gewiss nicht gemeint war. D.h.: Bei höher priorisierten Operationen, wie Multiplikation/Division/Potenzen/Funktionsoperatoren darf man die Klammern weglassen

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_iy_i ,\; \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{y_i},\; \sum_{i=1}^n x_i^{y_i},\; \sum_{i=1}^n f(x_i) \end{eqnarray*}$ ,

bei gleichrangigen wie Addition/Subtraktion aber nicht! Grundsätzlich gilt natürlich: Besser ein Klammerpaar zu viel, als eins zuwenig. Augenzwinkern

01.10.2013, 13:17

h1151874

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Danke!!!!

01.10.2013, 13:31

h1151874

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noch eine Frage,

wie rechne ich mit dem Summenzeichen, wenn die Grenzen verschieden sind ?
Also zb:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n-1} x_{j} - \sum\limits_{i=1}^n x_{i} \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): LaTeX berichtigt. n-1 ist in { .. } einzuschließen! Die runde Klammer kann hier entfallen.

01.10.2013, 13:31

h1151874

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das n-1 sollte eig oben auf dem Summenzeichen sein.

01.10.2013, 13:37

mYthos

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n-1 ist in { .. } einzuschließen! Die runde Klammer kann hier dann entfallen.

mY+

01.10.2013, 13:47

h1151874

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ja danke und wie soll ich bei so einem bsp weiterrechnen?

01.10.2013, 13:56

HAL 9000

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"Soll"? Allenfalls "kann", es kommt darauf an, welches Ziel du verfolgst, ich nehme ja an, dass du von

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n-1} x_j - \sum\limits_{i=1}^n x_i \end{eqnarray*}$

redest. Naheliegend wäre das Ziel einer Vereinfachung, da ja viele Summenglieder sowohl im Minuend als auch im Subtrahend dieser Differenz auftauchen, sie sich somit gegenseitig auslöschen, und am Ende ein sehr einfacher Term ohne Summensymbol übrig bleibt.

02.10.2013, 19:42

h1151874

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Also, mein Rechenvorgang:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n x^{i+1} - x^{i} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt Bsp für n 3 einsetze, dann habe ich ja die Rechnung :
$\begin{eqnarray*} x^{1+1} +x^{2+1} + x^{3+1} - x^{1} - x^{2} - x^{3} = x^{4} -x \end{eqnarray*}$

Wie ich jetzt auf das Endergebnis komme, verstehe ich noch immer nicht ?

03.10.2013, 10:41

HAL 9000

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Kann eigentlich so unverständlich nicht sein, da sich zwei +-Paare der Potenzen gegenseitig auslöschen - was bleibt dann noch übrig?

$\begin{eqnarray*} {\color{red}x^{1+1}} + {\color{blue}x^{2+1}} + x^{3+1} - x^{1} {\color{red}- x^{2}} {\color{blue}- x^{3}} = x^{4} -x \end{eqnarray*}$

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