Brüche und Exponenten

01.10.2013, 01:58

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Brüche und Exponenten

Hallo!
Mathe bringt mich noch zur Verzweifelung.
Ich kenne "mittlerweile" die Rechengesetze für Brüche, aber wie rechne ich folgenden Bruch in dem Addition und Multiplikation vorkommt?

2a+b * a²-4b²
a-2b 4a²+4ab+b²

(x)hoch n-5 * x hoch 3-n * (x)²
(y) y hoch 3-n (y)

Ebenso die oben gezeigte Aufgabe. Brüche mit Variablen und dann hoch sonst irgendetwas. Ein Rätsel.

Es geht mir absolut nicht um Lösungen. Nur um sinnvolle und verständliche Erklärungen oder ähnliche Rechenbeispiele.

Vielen lieben Dank!!!

01.10.2013, 02:07

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann lass uns die Aufgaben Schritt für Schritt durcharbeiten.

Zu erst die Bruchaufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{2a+b}{a-2b}\cdot \frac{a^2-4b^2}{4a^2+4ab+b^2} \end{eqnarray*}$

Das Stichwort lautet hier kürzen. Und das geht am besten wenn man die binomischen Formeln kennt und erkennt.

01.10.2013, 02:55

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Die binomischen Formeln sind mir bekannt, jedoch ist mir das Rückrechnen ein Graus verwirrt

verwirrt

01.10.2013, 03:01

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verrate mal, dass wir die binomischen Formeln nur auf den zweiten Bruch anwenden. Dort betrachten wir einmal Zähler und Nenner für sich alleine.

$\begin{eqnarray*} a^2-4b^2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 4a^2+4ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Welcher binomischen Formel sieht der erste Ausdruck ähnlich?
Und welcher binomischen Formel sieht der zweite Term ähnlich?

Vielleicht hilft es dir auch wenn du die drei binomischen Formeln nochmal aufschreibst.

01.10.2013, 03:35

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

(a+b)²=a²+2*a*b+b² <- erste Formel
(a-b)²=a²-2*a*b+b² <- zweite Formel
(a+b)*(a-b)=a²-b² <- dritte Formel

und versucht anzuwenden:

a²-4b² -> (a+2b)*(a-2b)

4a²+4ab+b² -> (2a+2b)²

...richtig?! verwirrt

verwirrt

01.10.2013, 03:40

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a^2-4b^2=(a+2b)(a-2b) \end{eqnarray*}$

Das ist richtig.

Das zweite ist leider falsch, aber ja, hier brauchen wir die erste binomische Formel.

$\begin{eqnarray*} (2a+2b)^2=4a^2+8ab+4b^2 \end{eqnarray*}$

die 2a sind schon richtig, aber der Vorfaktor des b ist nicht korrekt. Passe diesen an.
Ne Idee? Wir müssen ja nach dem quadrieren wieder auf

$\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ kommen. Da bleibt für den Vorfaktor nicht viel über.

Anzeige

01.10.2013, 03:42

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bleibt nur noch die Option von
(4a+b)² -> dann entsteht 4a²+4ab+b²

01.10.2013, 03:46

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (4a+b)^2=16a^2+8ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, die 2a waren schon richtig.

$\begin{eqnarray*} (2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Ich gehe aber ohnehin bei der 4 von einem Tippfehler aus.

Gut.
Nun haben wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{2a+b}{a-2b}\cdot \frac{(a+2b)(a-2b)}{(2a+b)^2} \end{eqnarray*}$

Was können wir nun wunderbar tun?

01.10.2013, 03:58

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtdienst und nebenbei Mathematik - Verwirrung pur.

Nun kann ich den Zähler von dem ersten Bruch mit dem Nenner von dem zweiten Bruch kürzen und den Zähler von dem zweiten Bruch mit dem Nenner von dem ersten Bruch und erhalte:

a+2b
2a+b

01.10.2013, 04:05

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kannst du dich wenigstens bei der Arbeit mit der Mathematik amüsieren.

Ganz genau. Dein Ergebnis ist korrekt.

Jetzt muss ich erstmal gucken ob ich die anderen Aufgaben richtig Entziffer.

$\begin{eqnarray*} x^{n-5}\cdot x^{3-n}\cdot x^2 \end{eqnarray*}$

Hier brauchst du eigentlich nur die Potenzgesetze.
Wie muss man hier multiplizieren? Was passiert mit der Basis, was mit dem Exponenten?

01.10.2013, 04:11

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Großartig, vielen lieben Dank!

Die zweite Aufgabe besteht aus drei Brüchen:

ich versuche es mal in anderer Form ( das / stellt den Bruchstrich) dar:

(x/y) hoch n-5 * x hoch 3-n/ y hoch 3-n * (x/y)²

01.10.2013, 04:13

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.

Ah, okay ich dachte das sind nun zwei verschiedene Aufgaben. Also so:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{x}{y}\right)^{n-5}\cdot \frac{x^{3-n}}{y^{3-n}}\cdot \left(\frac{x}{y}\right)^2 \end{eqnarray*}$

?

01.10.2013, 04:16

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja perfekt, so soll es sein.

Mich verwirrt von Anfang an, das einmal "n-5" und einmal "3-n" vorhanden ist - gibt es da einen Unterschied oder soll es Verwirrung stiften?

01.10.2013, 04:18

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist

$\begin{eqnarray*} n-5\neq 3-n \end{eqnarray*}$

also besteht da natürlich ein Unterschied.
Verwirrung stiften soll es eigentlich nicht. Ich kenne aber auch nicht die Intention des Aufgabenstellers.

Du solltest aber auch schnell merken, dass das eigentlich gar kein Problem darstellt.

Ich hatte oben einmal die Potenzgesetzte erwähnt.
Eine Idee wie wir die hier anwenden?

01.10.2013, 04:26

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist bekannt das bspw. a hoch -n = 1/a hoch -n ist
...aber ich kann es nicht auf die Aufgabe anwenden

01.10.2013, 04:29

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip wäre das möglich, aber das würde das ganze eher verkomplizieren.

Die Potenzgesetzte laufen ja eigentlich alle darauf hinaus, dass wir eine gleiche Basis brauchen.

Als Basis bietet sich hier an, dass wir

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{x}{y}\right) \end{eqnarray*}$

nehmen, weil wir

1. schon zwei Brüche in einer perfekten Darstellung haben

2. dies in jedem Bruch vorkommt.

Nur der mittlere Bruch ist noch gut genug vereinfacht.
Also schauen wir uns den mal etwas genauer an.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{3-n}}{y^{3-n}} \end{eqnarray*}$

Kannst du dies zur gewünschten Basis schreiben?

Gucke dir nochmal die Potenzgesetze an.

http://www.mathematik-wissen.de/potenzgesetze.htm

01.10.2013, 04:35

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ehrlich und sehe nur Fragezeichen ...

01.10.2013, 04:38

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du dir die Seite mal angeguckt?

Unter der Überschrift:

"Dividieren von Potenzen mit dem gleichen Exponenten"

steht eigentlich was du brachst.

Hinterher müssen wir dann noch wissen wie man hier die Multiplikation durchführt.

Zitat:

Mir ist bekannt das bspw. a hoch -n = 1/a hoch -n ist

Hier solltest du übrigens:

$\begin{eqnarray*} a^{-n}=\frac{1}{a^n} \end{eqnarray*}$ meinen.

01.10.2013, 04:45

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Seite habe ich schon mehrfach vor mir gehabt und versucht es irgendwie auf das Beispiel anzuwenden, aber bisher vollkommen erfolglos

01.10.2013, 04:47

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine folgende Regel:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^u}{b^u}=\left(\frac{a}{b}\right)^u \end{eqnarray*}$

Wende diese auf

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{3-n}}{y^{3-n}} \end{eqnarray*}$

an.

01.10.2013, 04:52

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde dann (x/y) hoch 3-n ergeben?

01.10.2013, 04:55

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Jetzt haben wir ja genau das was wir wollten. Alle drei Brüche haben die selbe Basis. Nun können wir ohne weiteres das Potenzgesetz anwenden, welches die Multiplikation regelt.

In dem Link wäre das direkt der erste Satz.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{x}{y}\right)^{n-5}\cdot \left(\frac{x}{y}\right)^{3-n}\cdot\left(\frac{x}{y}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert indem man ....... .

01.10.2013, 05:45

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

...die Exponenten miteinander addiert und die Basis beibehält.

Jedoch kommt dann wieder die Verwirrung dazu, da ja n-5 ungleich 3-n und theoretisch doch dann auch ungleich hoch ² ist oder ?! Kann ich dann überhaupt addieren, wenn die Exponenten unterschiedlich sind?

Scheinbar ja..

01.10.2013, 16:06

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht ja nur darum, dass die Basis gleich sein muss.

Du verwechselst hier Basis und Exponent.

Der Exponent ist das was "oben" steht und die Basis ist das was "unten" steht.

01.10.2013, 16:29

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt die gemeinsame Basis von (x/y) und muss jetzt nur noch die Exponenten miteinander addieren.
Sozusagen "n-5"+"3-n"+"2" = würde für mich 0 ergeben!?

01.10.2013, 16:45

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Und was ist nun

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{x}{y}\right)^0 \end{eqnarray*}$

im allgemeinen.

01.10.2013, 16:50

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde somit 1 ergeben.

01.10.2013, 16:51

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Wir hätten vielleicht zu Anfang unserer Rechnungen fordern sollen, dass x und y ungleich Null sind.

01.10.2013, 16:54

TineHH

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich durch diese unterschiedlichen Exponenten so enorm verwirren lassen, wodurch ich einfach gar keinen Lösungsanfang gefunden habe.
Ich danke vielmals für die Zeit und die Geduld, mir das verständlich zu erläutern!!!

01.10.2013, 16:56

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »