Kurzer Konvergenzbeweis

05.08.2004, 19:43

Mazze

Kurzer Konvergenzbeweis

Wir betrachten die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und den Grenzwert a

Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} (a_n \rightarrow a) \leftrightarrow (a_n - a \rightarrow 0) \end{eqnarray*}$

"<="

$\begin{eqnarray*} a_n - a \rightarrow 0 => \exists n_0 \in N:\forall n > n_0: |a_n - a - 0| < \epsilon \| \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \exists n_0 \in N:\forall n > n_0: |a_n - a| < \epsilon \| \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => a_n \rightarrow a \end{eqnarray*}$

Das ist ja schon die Aussage, ich fand das recht einfach hab ich was vergessen? verwirrt

"=>"

$\begin{eqnarray*} a_n \rightarrow a => \exists n_0 \in N:\forall n > n_0: |a_n - a| < \epsilon\| \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \exists n_0 \in N:\forall n > n_0: |a_n - a - 0| < \epsilon\| \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => a_n - a \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

ehm wars das schon?` verwirrt

05.08.2004, 19:50

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurzer Konvergenzbeweis

Zitat:

Original von Mazze

Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} a_n \rightarrow a \leftrightarrow a_n - a \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

"<="

$\begin{eqnarray*} a_n - a \rightarrow 0 => \exists n_0 \in N: |a_n - a - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$

...

Das ist ja schon die Aussage, ich fand das recht einfach hab ich was vergessen? verwirrt

Hast du nicht das zu beweisende verwendet?? Übrigens was sollst du beweisen?? Du kannst doch nich allgemein beweisen, dass a_n gegen a geht. Dann ginge jede Folge gegen a oder versteh ich was falsch??
Du bräuchtest mMn noch ne Voraussetzung. verwirrt

05.08.2004, 19:54

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Kommst nicht ganz mit dem Ausdruck klar? Augenzwinkern

"<=" = Rückrichtung (das heißt a_n -a -> 0 vorrausetzung)

"=>" = Hinrichtung (das heißt a_n -> a vorrausetzung)

Was ich beweisen will steht extra unter "zu zeigen ist", ich hab mal Klammern gesetzt damit die Aussage besser zu sehen ist.

05.08.2004, 20:43

navajo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ehm wars das schon?` verwirrt

Also ich seh jedenfalls keinen Fehler (Was allerdings noch überhaupt garnix heisst Augenzwinkern

). So wild ist die Aussage von dem Satz ja auch nicht, wär ja schlimm wenn der nen krassen Beweis hätte :P

Zitat:

Übrigens was sollst du beweisen?? Du kannst doch nich allgemein beweisen, dass a_n gegen a geht. Dann ginge jede Folge gegen a oder versteh ich was falsch??

Er hat auch nicht bewiesen, dass jede Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ den Grenzwert a hat, sondern:
Wenn man eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ hat die gegen a konvergiert, dann konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n-a) \end{eqnarray*}$ gegen 0. (Und umgekehrt)

Zitat:

Du bräuchtest mMn noch ne Voraussetzung. verwirrt

Das ist ja sone "genau dann wenn" Aussage. Man muss also beide Richtungen beweisen. Also nimmt man sich einmal als Vorraussetzung, dass man so eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ hat die gegen a konvergiert und zeigt dass dann die Folge $\begin{eqnarray*} a_n-a \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert.

Und dann muss man noch die andere Richtung: Man nimmt sich also eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n-a \end{eqnarray*}$ die gegen 0 konvergiert und zeigt dass dann die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen a konvergiert.

05.08.2004, 20:46

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte auch nix auszusetzen.

Gruß vom Ben

05.08.2004, 20:48

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mazze
Kommst nicht ganz mit dem Ausdruck klar? Augenzwinkern

"<=" = Rückrichtung (das heißt a_n -a -> 0 vorrausetzung)

"=>" = Hinrichtung (das heißt a_n -> a vorrausetzung)

Genau das wars. So is es natürlich richtig! Hab halt die Schreibweise nich gekannt. Gott

05.08.2004, 20:52

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun noch ne kleine Frage zu ner anderen Aufgabe

Sei a_n > 0 für alle natürlichen n. Das ist alles was ich weiß, ich soll zeigen das

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_n} \rightarrow 0 <=> \exists (G : G > 0,n_0): n > n_0 => a_n > G \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht mehr über a_n. A_n kann jede bel. Folge > 0 sein. Würde sie gegen 2 Konvergieren hätte ich doch aber ein G so das alle a_n < G sind. Irgendwas versteh ich da nich so ganz -.-

edit

Egal, ich habs ich soll ja die Aussagen im zusammenhang beweisen.

05.08.2004, 21:03

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurzer Konvergenzbeweis
Mazze,

nicht korrekt formuliert.

Es muss nämlich heißen "Für e > 0 beliebig gibt es ein Ne aus N sodass
für alle n>Ne gilt ..."

das epsilon ist frei VORzuwählen ...

.

05.08.2004, 21:06

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

hm also oben bin ich der ansicht passt alles was meinst du? So stehts hier auch 1a im buch.

edit

achso du meinst ich hätte epsilon noch näher spezifizieren müssen. ja stimmt! Aber im allgemeinen wird epsilon > 0 bei der ganzen konvergenz geschichte gesetzt.

05.08.2004, 21:08

navajo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Würde sie gegen 2 Konvergieren hätte ich doch aber ein G so das alle a_n < G sind. Irgendwas versteh ich da nich so ganz -.-

Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren soll, dann muss doch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich gehen.

Und das mit diesem G und $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ versteh ich so, dass für jedes beliebig grosse G, gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass die Folge für jedes $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ grösser als dieses G ist.

Also sagt das doch eigentlich beides nur aus dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich geht.

Zitat:

nicht korrekt formuliert.
Es muss nämlich heißen "Für e > 0 beliebig gibt es ein Ne aus N sodass
für alle n>Ne gilt ..."

Mir kam die Schreibweise auch komisch vor Augenzwinkern

05.08.2004, 21:10

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

@ navajo: ich hatte die beiden Aussagen getrennt von einander betrachten, bis mir ein Licht aufging :P

05.08.2004, 21:13

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Mazze das ist es noch nicht ganz.

Die Grenzwertdefinition erzwingt in der Hinrichtung, dass zu jedem
freigewählten eps>0 ein Neps spezifiziert werden kann sodass ...

im konkreten Fall ist diese Zuordnung eps, Neps sogar anzugeben

.

Zitat:

Original von Mazze
Wir betrachten die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und den Grenzwert a

Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} (a_n \rightarrow a) \leftrightarrow (a_n - a \rightarrow 0) \end{eqnarray*}$

"<="

$\begin{eqnarray*} a_n - a \rightarrow 0 => \exists n_0 \in N:\forall n > n_0: |a_n - a - 0| < \epsilon \| \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} (a_n \rightarrow a) \leftrightarrow (a_n - a \rightarrow 0) \end{eqnarray*}$

"<="

aus (a_n - a) -> 0 folgt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \,\,\, \exists n_\epsilon \in N:\forall n > n_\epsilon: |a_n - a - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$
...

und in der Hinrichtung hast du nachzuweisen, dass du zu jedem
eps > 0 ein Neps angeben kannst sodass gilt ...

.

Neue Frage »

Antworten »

Kurzer Konvergenzbeweis

Verwandte Themen