Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung

01.10.2013, 18:57

mathelkq1

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Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung

Meine Frage:
Gegeben sind die Funktionen fb(x)=x^4-bx^2 und h(x)= x^4-4x^2.

a) Für welches b schlie0t die Funktion fb(x) mit der x-Achse eine Fläche von 128/15 FE ein?

b) Wie muss der Funktionsgraph zu h(x) in y-Richtung gestreckt werden, damit die mit der x-Achse eingeschlossene Fläche 12,8 FE beträgt?

Meine Ideen:
Also bei der a) habe ich die Nullstellen der Funktion berechnet. Da kam raus -b, +b und 0. Die habe ich dann in ein Integral eingesetzt. obere Grenze war b untere Grenze -b. Am Ende kam für b -1,84 raus.
Für b habe ich leider überheupt kein Vorschlag...

01.10.2013, 19:03

Gast11022013

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Guck dir bei a) nochmal deine Lösungen für die Nullstellen an. Die sind nicht ganz richtig. Ist hier innerhalb der Aufgabenstellung eine Einschränkung für b angegeben?

Ansonsten ist deine Vorgehensweise nicht ganz korrekt.
Du würdest hier das Integral unterhalb der Kurve berechnen. Gesucht ist jedoch die Fläche und hier müssen wir zwischen negativen und positiven Flächen unterscheiden.
Nutze gegebenenfalls auch die Symmetrie der Funktion aus.

Zu b)

Was bedeutet eine Streckung in y-Richtung?

01.10.2013, 19:17

mathelkq1

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Intergalrechnung
Also bei a) soll ich da die Grenzen getrennt machen. also z.B. einmal -b und 0; 0 und +b ??

Bei der b) habe ich die ganze Funktion mal c genommen und habe einen Parameter hineingeschoben aber die Nullstellen wollte ich bestimmenmit der abc-Formel; nur ich weiß nicht was wurzel aus 4c ist??!!

01.10.2013, 19:19

Gast11022013

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Dein Gedanke für b) ist richtig, aber ich würde vorschlagen, dass wir erstmal Aufgabe a) beenden.

Zitat:

Also bei a) soll ich da die Grenzen getrennt machen. also z.B. einmal -b und 0; 0 und +b ??

Ja, aber wie gesagt solltest du nochmal deine Lösungen prüfen.

01.10.2013, 19:24

mathelkq1

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Hauptsatz
Also ich habe meine Nullstellen kontrolliert aber diese müsste richtig sein.
Aber was meinst du mit positiver und negativer Fläche?

01.10.2013, 19:33

Gast11022013

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Flächen die eine Funktion unterhalb der x-Achse einschließt sind negativ und Flächen die oberhalb der x-Achse liegen positiv.

Da wir hier eine Gesamtfläche berechnen wollen müssen wir zwischen diesen unterscheiden. Ansonsten würden wir die potenzielle negative Fläche ja einfach vom gesamten Flächeninhalt subtrahieren, was das Ergebnis verfälschen würde.

Nein, deine Nullstellen sind nicht korrekt. Wie hast du gerechnet?

Wir können ja leicht prüfen. Wenn wir x=b setzten, dann ist

$\begin{eqnarray*} b^4-b\cdot b^2=b^4-b^3 \end{eqnarray*}$

Und das ist ja nicht immer Null.

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01.10.2013, 19:38

mathelkq1

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Hauptsatz
Alsi ich habe substituiert x^2= z und habe dann die Nullstellen ausgerechent. Also z= 0
und z=b und z= -b kamen raus...
Also vermutlich ists wirklich falsch.
Ich habe mit der pq-Formel ausgerechnet nachdem ich substituiert habe und dann Resubstituiert.

01.10.2013, 19:40

Gast11022013

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Du hast die Resubstitution vergessen.
Eine Substitution ist eigentlich auch gar nicht notwendig.

01.10.2013, 19:43

mathelkq1

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Hauptsatz
Stimmt man kann das ausklammern. aber auch wenn ich ausklammere komm ich auf x1/2= 0 aber wie mach ich dann (x^2-b) damit die Klammer 0 wird??

01.10.2013, 19:46

Gast11022013

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x=0 ist ja auch eine korrekte Lösung.

$\begin{eqnarray*} x^2-b=0<br /> <br /> x^2=b \end{eqnarray*}$

Wie löst du das nun nach x auf?
Wähle auch eine Einschränkung für den Parameter.

01.10.2013, 19:49

Haauptsatz

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mathelkq1
Also ich ziehe die wurzel aus b, aber was ist die wurzel aus b??
Und mein Parameter ist größer als 0.

01.10.2013, 19:54

Gast11022013

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Die Wurzel aus $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist ganz einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt{b} \end{eqnarray*}$

Und die Lösung der quadratischen Gleichung dann

$\begin{eqnarray*} x_{2,3}=\pm\sqrt{b} \end{eqnarray*}$

01.10.2013, 19:59

Hauptsatz

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mathelkq1
also ich habe die grenzen getrennt berechnet und die minusfläche mit einem Betrag versehen. Am ende habe ich 2/5 wurzel aus b^5 = 128/15 stehen.. Ist das richtig??

01.10.2013, 20:09

Gast11022013

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Genau genommen müssten hier sogar beide Flächen im Betrag stehen.

Dein Vorfaktor sollte inkorrekt sein.

Aufgrund der Achsensymmetrie könnten wir die Rechnung auf

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \bigg|\int_{0}^{b} x^4-bx^2\, dx\bigg|=\frac{128}{15} \end{eqnarray*}$

reduzieren. Anstatt zwei verschiedene Integrale zu berechnen.

01.10.2013, 20:13

mathelkq1

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Hauptsatz
Also ich habe es jetzt verbessert und habe 2/5 wurzel ausb ^5 + 2/3 wurzel aus b^4.
Aber wie rechne ich weiter?

01.10.2013, 20:15

Gast11022013

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Du solltest bereits auf dem Weg zu diesem Zwischenergebnis einen Fehler erhalten haben. Wie sieht deine Stammfunktion aus? Wie setzt du die Grenzen ein?

Am besten postest du deine Rechnung damit ich da drüber gucken kann.

01.10.2013, 20:21

mathelkq1

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Hauptsatz
Also meine Rechnung sieht folgender Maßen aus:

Meine stammfunktion ist: 1/5x^5 - 1/3x^3
Die ersten grenzen die ich gewählt habe sind folgendermaßen:
obere grenze 0 untere -wurzel b;
die zweite Grenze ist:
obere grenze wurzel b und untere Grenze 0

Nun habe ich die Werte eingesetzt und ausgerechnet und in einem betrag zusammengefasst.

Am Ende habe ich stehen :

2/5wurzelb^5 + 2/3 wurzel b^4

01.10.2013, 20:23

Gast11022013

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Zitat:

Meine stammfunktion ist: 1/5x^5 - 1/3x^3

Hier ist dir in der Stammfunktion der Parameter b verloren gegangen.

01.10.2013, 20:26

mahelkq1

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Haupsatz
Also in der Rechnung taucht mein b wieder auf aber tortzdem kommt das gleiche raus. ich habe mich hier nur vertippt..Danke für die Hilfe smile

smile

) Sonst wäre ich echt nicht weiter gekommen. Aber wie lautet mein b??

01.10.2013, 20:31

Gast11022013

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Dann musst du wohl deinen kompletten Rechenweg posten.

Zitat:

2/5wurzelb^5 + 2/3 wurzel b^4

Das hier sieht jedenfalls Falsch aus. Ich denke du hast aus

$\begin{eqnarray*} b\cdot \sqrt{b}^3 \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt{b}^4 \end{eqnarray*}$ gemacht. Das ist jedoch falsch.

$\begin{eqnarray*} b\cdot \sqrt{b}^3=\sqrt{b}^5 \end{eqnarray*}$

Außerdem würde ich sagen, dass deine Vorfaktoren falsch sind.

01.10.2013, 20:33

mathelkq1

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Haupsatz
Moment ich schreibs ncóch einmal ordentlich ab.

01.10.2013, 20:35

Gast11022013

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Verwende bitte den Formeleditor, im schlimmsten Fall lade ein Bild deines Rechenweges hoch.

01.10.2013, 20:45

mathelkq1

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Hauptsatz
mein Anhang ist zu groß:/ Kannst du mir nicht sagen, was bei b rauskommt bitte?? Und mit dem formeleditor kann ich echt nicht umgehen. Ich habe es wirklich berechnet und will nicht nur die Lösung .

01.10.2013, 20:50

Gast11022013

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Die Lösung ohne Lösungsweg bringt dir ohnehin nichts, aber es ist

$\begin{eqnarray*} b=4 \end{eqnarray*}$

01.10.2013, 20:52

mathelkq1

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Hauptsatz
Hast du nicht den Rechenweg? Ich vergleiche es mit meinem und sage dir dann, was ich falsch gemacht habe!

01.10.2013, 20:54

Gast11022013

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Wie wäre es denn so rum. Du postest deinen Rechenweg und ich vergleiche was du falsch gemacht hast.

Den Rechenweg werde ich nicht posten.

01.10.2013, 20:56

mathelkq1

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Hauptsatz
Okay, warte es kann etwas dauern. Oder wenn du eine email-Adresse hast , kann ich es dir schicken.

01.10.2013, 20:58

Gast11022013

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Du musst es nicht unbedingt mit dem Formeleditor machen, aber dann achte darauf, dass eindeutig klar ist was du meinst. Also du an notwendigen Stellen Klammern setzt und auch lieber zu viele Klammern setzt als nicht, auch wenn sie überflüssig sind.

Versuche vielleicht auch noch einmal den Ansatz wo wir die Symmetrie ausnutzen. Das sollte deine Rechnung vereinfachen.

01.10.2013, 21:13

mathelkq1

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Hauptsatz
obere grenze 0 ;untere grenze -wurzel b= -1/5wurzel b^5 + 1/3 wurzel b^4.

obere Grenze wurzel b ; untere Grenze 0 = 1/5 wurzel b^5 -1/3 wurzel b^4.

Dann habe ich diese beiden Ergebnisse mit den Beträgen verrechnet und kam auf das hier:

2/5 wurzel b^5 + 2/3 wurzel b^4= 128/15

Weiter komme ich ncicht.

01.10.2013, 21:15

Gast11022013

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Zu dieser $\begin{eqnarray*} \sqrt{b}^4 \end{eqnarray*}$ Problematik hatte ich oben ja schon was geschrieben.
Es muss $\begin{eqnarray*} \sqrt{b}^5 \end{eqnarray*}$ lauten.

Immerhin ist $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{b}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b}^2\cdot \sqrt{b}^3=\sqrt{b}^5 \end{eqnarray*}$

01.10.2013, 21:19

mathelkq1

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Hauptsatz
Also muss dann am ende das hier stehen:

2/5 wurzel b^5 + 2/3 wurzel b^5=128/15
daraus folgt dann : 16/15 wurzel b^5=128/15
???

01.10.2013, 21:33

Gast11022013

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Wie gesagt, wenn du mir nicht deinen nachvollziehbaren, kompletten Rechenweg zeigst, dann kann ich dir auch nicht effizient sagen wo der Fehler steckt. Und das was du oben angegeben hast, war nicht komplett.

Ich würde dir außerdem empfehlen die Symmetrie auszunutzen und

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \bigg|\int_0^{\sqrt{b}} x^4-bx^2\, dx\bigg|=\frac{128}{15} \end{eqnarray*}$

zu berechnen. Das ist nämlich nicht so Fehleranfällig.

Der Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{16}{15} \end{eqnarray*}$ ist nicht korrekt. Ansonsten sieht es eigentlich schon gut aus.

01.10.2013, 21:39

mathelkq1

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Hauptsatz
Also diesmal habe ich (1/5 wurzel b^5 -1/3 wurzel b^5 *2 genommen und kam wieder auf dieses Ergebnis:

2/5 wurzel b^5 +2/3 wurzel b^5= 128/15

01.10.2013, 22:07

Gast11022013

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Wenn du den obigen Ansatz verfolgst, dann erhältst du:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \bigg|\left[\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{3}b\cdot x^3\right]_0^{\sqrt{b}}\bigg|=\frac{128}{15} \end{eqnarray*}$

Jetzt teilen wir erstmal durch 2 und setzen die obere Grenze ein. Da die untere Grenze Null ist fällt dies weg, da ja überall ein x vorkommt.
Nun haben wir:

$\begin{eqnarray*} \bigg| \frac{1}{5}\sqrt{b}^5-\frac{1}{3}\sqrt{b}^5\bigg|=\frac{128}{30} \end{eqnarray*}$

03.10.2013, 17:54

mathelkq1

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Hauptsatz
Also ich habe dann stehen:

wurzel b^5= 1

03.10.2013, 19:32

Gast11022013

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Und wie kommst du darauf?

Du kannst jetzt innerhalb des Betrages erstmal zusammenfassen.

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