Differenzierbarkeit zeigen

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit zeigen
Meine Frage:
Hallo Leute, mal wieder eine Frage zum Erstsemester-Stoff smile

Wenn die Aufgabe lautet: "Prüfen Sie die Funktion auf Differnzierbarkeit."

Kann ich dann die Funktion einfach ableiten, und schauen wo diese Ableitung überall existiert (also Def.berreich bestimmen)

oder muss ich dann immer über den Differentialquotient gehen?

Ich sehe das mal so mal so in der Lösung.

Wenn ich z.B. ein Polynom habe, ich soll zeigen, dass es Differnzierbar ist, kann ich dann einfach die Ableitung hinschreiben und fertig? Oder muss ich über die Def. mit Differentialquotient argumentieren?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit zeigen
Zitat:
Original von steviehawk
Kann ich dann die Funktion einfach ableiten, und schauen wo diese Ableitung überall existiert (also Def.berreich bestimmen)

Wenn du die Funktion ableiten kannst, existiert die Ableitung wohl, womit die betrachtete Funktion differenzierbar ist.

Zitat:
Wenn ich z.B. ein Polynom habe, ich soll zeigen, dass es Differnzierbar ist, kann ich dann einfach die Ableitung hinschreiben und fertig?

Wie rechtfertigst du denn diese Ableitung?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit zeigen
mit dem entsprechenden Satz aus der Vorlesung verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du schon aus der Vorlesung weißt, dass eine Funktion (als Polynom/Exponential/rationale/trigonometrische... Funktion oder Verkettung dieser Funktionen) differenzierbar ist, dann solltest du das natürlich so hinschreiben dürfen. Geht es dir vielleicht eher um abschnittsweise definierte Funktionen?

ist für alle als Verkettung differenzierbarer Funktionen differenzierbar, lediglich für müsste das jetzt noch geprüft werden.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, so was meinte ich!

Hier muss ich doch jetzt den Grenzwert für x gegen Null betrachten. Einmal verwende ich die Ableitung des oberen und einmal die des unteren oder?

Wenn die GW übereinstimmen, dann ist das ganze auch in 0 differenzierbar.

Ich könnte aber auch 2mal über den Differentialquotieten gehen, ein mal mit der obigen Def. und einmal mit der unteren.

passt das?

DANKE
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk
Hier muss ich doch jetzt den Grenzwert für x gegen Null betrachten. Einmal verwende ich die Ableitung des oberen und einmal die des unteren oder?

Wenn die GW übereinstimmen, dann ist das ganze auch in 0 differenzierbar.


Nein, das ist falsch.

ist für alle differenzierbar mit . Also ist auch , aber ist in nicht einmal stetig, also auch nicht differenzierbar. Also reicht es nicht aus, wenn der linke und rechte Grenzwert der Ableitung übereinstimmen. Mit weiteren Forderungen z.B. Stetigkeit kann man das zwar etwas retten, ansonsten muss man aber auf den Differentialquotienten zurückgreifen.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@steviehawk

Bei diesen Differenzierbarkeitsuntersuchungen abschnittsweise definierter Funktionen läuft es oft (um nicht zu sagen meist) auf folgende Argumentation hinaus:

Zitat:
Ist differenzierbar, und hat man ein Intervall mit für alle , so gilt:

ist für alle differenzierbar mit .

ist für rechtsseitig differenzierbar mit .

ist für linksseitig differenzierbar mit .

D.h., hat man eine abschnittsweise definierte Funktion , welche an den Intervall-Übergangsstellen stetig ist, so sind die Intervall-Inneren der Abschnitte zumeist kein Problem hinsichtlich der Differenzierbarkeit. Und was die Übergangsstellen betrifft: Dort muss man überprüfen, ob die links- und rechtsseitigen Ableitungen (so sie denn gemäß obigen Kriterium existieren) auch übereinstimmen.
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