Hessesche Normalform

02.10.2013, 00:59

joschi123456

Hessesche Normalform

Meine Frage:
Ich hätte eine Frage zur Hesseschen Normalform.
Die Hessesche Normalform ist ja |(vektor)AP * n| / |n|

Es gibt aber auch eine Fomel die dann heißt |(vektor)n*(vektor)p - c| / |n|

Jetzt meine Frage wie kommt man den Vektor AP. bzw. wie kommt man von der Form |(vektor)AP * n| / |n| zu |(vektor)n*(vektor)p - c| / |n|? Also warum ist das c dann hinten angereiht?

Meine Ideen:

02.10.2013, 09:39

Ehos

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Eine Ebene ist durch den sogenannten Stellungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ eindeutig festgelegt. Dieser beginnt am Nullpunkt und endet auf der Ebene, wobei er senkrecht auf dieser steht. Wenn $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ irgendein Punkt innerhalb der Ebene ist, dann steht folglich der Differenzvektor $\begin{eqnarray*} \vec a-\vec x \end{eqnarray*}$ senkrecht auf dem Stellungsvektor, also $\begin{eqnarray*} \vec a\cdot (\vec a-\vec x)=0 \end{eqnarray*}$ . (Mache dir das anhand einer Skizze klar!) Umstellen ergibt die Ebenengleichung, die für jeden Ebenenpunkt $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} \vec a\cdot \vec x=\vec a^2 \end{eqnarray*}$

Dividiert man dies durch den Betrag $\begin{eqnarray*} |\vec a| \end{eqnarray*}$ , dann erhält man wegen $\begin{eqnarray*} \vec a^2=|\vec a|^2 \end{eqnarray*}$ die sog. Hessische Normalform der Ebenengleichung

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\vec a}{|\vec a|}\cdot \vec x=|a| \end{eqnarray*}$

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} \tfrac{\vec a}{|\vec a|} \end{eqnarray*}$ der Einheitsvektor, der senkrecht auf der Ebene steht, und $\begin{eqnarray*} |\vec a| \end{eqnarray*}$ ist der Abstand der Ebene vom Nullpunkt. Wenn die Ebene speziell durch den Nullpunkt geht, verschwindet dieser Abstand, also $\begin{eqnarray*} |\vec a|=0 \end{eqnarray*}$ . Damit vereinfacht sich die Hessische Normalform der Ebene zu

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\vec a}{|\vec a|}\cdot \vec x=0 \end{eqnarray*}$

02.10.2013, 11:01

mYthos

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RE: Hessesche Normalform

Zitat:

Original von joschi123456
...
Die Hessesche Normalform ist ja |(vektor)AP * n| / |n|
...

Nein, das ist sie nicht. Vor allem sollte dann auch eine Gleichung da stehen, so wie d = ... (d .. Abstand)
Bestenfalls ist das also bereits der Abstand des Punktes P von der Ebene, die den Normalvektor $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ besitzt.

Die HNF der Ebenengleichung dazu lautet $\begin{eqnarray*} \frac{\vec {AX} \cdot \vec n}{|\vec n|} = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{(\vec x - \vec a) \cdot \vec n}{|\vec n|} = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei A ein beliebiger Punkt der Ebene ist und $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ der Ortsvektor dorthin.

Zitat:

Original von joschi123456
...
Es gibt aber auch eine Fomel die dann heißt |(vektor)n*(vektor)p - c| / |n|
...

Aus dem obigen Grund ist das ebenfalls nicht die HNF, sondern auch bereits der angesprochen Abstand. Und es fehlt wieder die Gleichung.
Vor allem im Hochschulbereich ist schon auch auf eine exakte Formulierung Wert zu legen.

Wohin das "c" verschwindet bzw. woher es auftaucht, wird m. E. aus der Antwort von Ehos nicht ausreichend klar.
______________

@Ehos

Die Vorgangsweise mit dem Stellungsvektor führt zu Missverständnissen, das war sogar schon mehrmals ein Diskussionspunkt ..

Die Grundlage sollte die allgemeine Koordinatengleichung der Ebene sein, d.h. die Normalvektorform mit einem beliebigen Normalvektor $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec n * \vec x = c \ \text{[c const}] \end{eqnarray*}$

...

mY+

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