Gleichgewichtspunkt; System von Differentialgleichungen

02.10.2013, 11:54	absolute_	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichgewichtspunkt; System von Differentialgleichungen Hallo, in einem Skript verstehe ich irgendwie folgenden Zusammenhang nicht: Wir an wir haben ein System von DGl mit inhomogenen Anfangtswertbedingungen, welches die Gleichgewichtspunkte a und b hat. Warum ist dann eine Lösung dieses Systems durch das Wegintegral, welches die Anfangswertbed. erfüllt und durch die Punkte a und b geht, gegeben? Mein Problem ist irgendwie das ich den "Sinn" der Gleichgewichtspunkte noch nicht so richtig verstanden habe.... Die Definition vom Gleichgewichtspunkt lautet (wenn ich sie richtig verstanden habe): Ein Punkt x^* \in \mathbb R ^n heißt GGP für das System $\begin{eqnarray} \\&&y_1'=f(y) \\&& . \\&&. \\&& y_n'=f(y) \end{eqnarray}$ wenn gilt $\begin{eqnarray} f(x^)=0 \end{eqnarray*}$
02.10.2013, 14:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erkläre mal am Fall n=2, was der Glechgewichtspunkt bedeutet. Gegeben sei das nichtlineare System $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f_1(y_1,y_2) \\ f_2(y_1,y_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die 2 Funktionen $\begin{eqnarray} y_k=y_k(x) \end{eqnarray}$ mit k=1,2 hängen nur von der einen Variablen x ab. Der Strich bezichnet wie üblich die Ableitung nach x. Für ein beliebiges aber festes $\begin{eqnarray} x^ \end{eqnarray}$ führen wir der Kürze wegen folgende Bezeichnung ein $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1^* \\ y_2^* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_1(x^) \\ y_2(x^) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wir entwickeln die rechte Seite des Systems an dieser Stelle in einer Taylorreihe: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix} \approx \underbrace{\begin{pmatrix} f_1(y_1^,y_2^) \\ f_2(y_1^,y_2^) \end{pmatrix}}_{\text{0.Ordnung}}+\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f_1}{\partial y_1} & \tfrac{\partial f_1}{\partial y_2} \\ \tfrac{\partial f_2}{\partial y_1} & \tfrac{\partial f_2}{\partial y_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1-y_1^* \\ y_2-y_2^* \end{pmatrix}}_{\text{1.Ordnung}} +... \end{eqnarray}$ Die rechte Seite ist eine Näherung, weil die Taylorreihe bei der 1.Ordnung abbricht. Die Matrix im 2.Summanden ist konstant, denn sie wird an derjenigen festen Stelle $\begin{eqnarray} (y_1^,y_2^) \end{eqnarray}$ berechnet, an welcher entwickelt wurde. Hat man die obige Taylorentwicklung speziell an einem Gleichgewichtspunkt durchgeführt, verschwindet die 0.Ordnung der Entwicklung und das System vereinfacht sich weiter zu folgendem linearen System: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} \tfrac{\partial f_1}{\partial y_1} & \tfrac{\partial f_1}{\partial y_2} \\ \tfrac{\partial f_2}{\partial y_1} & \tfrac{\partial f_2}{\partial y_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1-y_1^* \\ y_2-y_2^* \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Sinn dieser Entwicklung ist, dass das System nunmehr linear und damit wesentlich einfacher lösbar ist. Diese Näherung ist aber nur für "kleine" Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1-y_1^* \\ y_2-y_2^* \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ brauchbar, was bei vielen praktischen Fällen erfüllt ist (z.B. bei "kleinen" Schwingungen gekoppelter Massen). Das letztere lineare System kann man mit dem Standardverfahren lösen: Eigenwerte der Matrix berechnen usw. ------------------------------------ Deine weitere Frage mit dem Wegintegral usw. habe ich nicht verstanden.
02.10.2013, 14:41	absolute_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ok, danke erstmal. Den Sinn der Gleichgewichtspunkte habe ich nun verstanden Ich glaube das weitere Problem hat sich damit auch erledigt. Aber nochmal kurz zum Verständniss: Wenn ich nun mehrere solcher Gleichgewichtspunkte habe und dort dann jeweils in einer kleinen Umgebung eine Näherung für die Lösung gefunden habe - dann muss doch für meine globalen Lösungen gelten, dass sie in der Nähe des Gleichgewichtspunktes durch die ermittelten Näherungen approximiert werden, oder?

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