uneigentliches Integral - Grenzwertkriterium

02.10.2013, 21:59

neuling1

uneigentliches Integral - Grenzwertkriterium

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe kürzlich ein mir bis dato unbekanntes Kriterium bezüglich uneigentlicher Integrale gelesen:

Ich spreche hier von Funktion von R nach R, soviel vorweg.
Zuerst mal das Kriterium
Sei $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R , b\in \mathbb R \cup \infty \end{eqnarray*}$
Nun seien f und g auf [a, b[ definierte Funktionen nach R die in jedem Intervall [a, c] mit a<c<b integrierbar sind.

Wenn nun f(x), g(x)>0 für alle $\begin{eqnarray*} x \in [a,b[ \end{eqnarray*}$ und außerdem der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b^{-}} \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ existiert. Dann sind die Integrale
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

beide konvergent oder beide divergent.
Nun hätte ich auch gerne einen Beweis dazu smile

Meine Ideen:
Ich habe ehrlichgesagt noch keine gute Idee. Ich könnte mir allerdings vorstellen, das man wegen des Grenzwertes eine Ungleichung aufstellen könnte, je nachdem ob der Grenzwert größer oder kleiner Null ist und man das ganze dann auf das Majoranten/Minorantenkriterium zurückführen kann.

Ist der Ansatz brauchbar, dann würde ich das weiter verfolgen.

03.10.2013, 11:34

neuling1

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RE: uneigentliches Integral - Grenzwertkriterium
Hallo nochmal,

ich habe nun eine Idee, allerdings basiert die auf einer Annahme die mich stark zweifeln lässt.
Darf ich folgendes machen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)}=K \Rightarrow \lim_{x \to b} f(x) = \lim_{x \to b} g(x)K \end{eqnarray*}$

03.10.2013, 11:40

chris95

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RE: uneigentliches Integral - Grenzwertkriterium
Hi neuling1,

Zitat:

Darf ich folgendes machen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)}=K \Rightarrow \lim_{x \to b} f(x) = \lim_{x \to b} g(x)K \end{eqnarray*}$

Nein, betrachte z.B. f(x) = x und g(x) = x, sowie $\begin{eqnarray*} b=\infty \end{eqnarray*}$ . Wenn die Limites nicht existieren, geht das nicht.

Diese Funktion kannst du auch oben verwenden.

Tipp: Die Aussage, die du zeigen moechtest, stimmt nicht. Betrachtet dazu geeignete Polynome.

03.10.2013, 12:10

neuling1

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RE: uneigentliches Integral - Grenzwertkriterium
Was? Bist du dir absolut sicher das dieses Kriterium falsch ist? Gibt es ein ähnliches Kriterium? So das in dem Buch vllt. nur eine Voraussetzung vergessen wurde?

03.10.2013, 12:16

chris95

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Vll. taeusche ich mich jetzt auch, aber betrachte doch mal den Fall:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {1}{x^2}\;\; g(x) = \frac 1 x \;\; a=1 \;\; b=\infty \end{eqnarray*}$

Mit dem Beispiel sollten alle Vorrausetzungen erfuellt sein, aber $\begin{eqnarray*} \int f \end{eqnarray*}$ existiert, waehrend $\begin{eqnarray*} \int g \end{eqnarray*}$ divergiert.

Vll. muss der andere Grenzwert auch noch existieren, also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to b} \frac{g(x)}{ f(x)} \end{eqnarray*}$

Dann gilt mein Gegenbeispiel nicht mehr.

03.10.2013, 12:21

neuling1

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Zitat:

Original von chris95
Vll. taeusche ich mich jetzt auch, aber betrachte doch mal den Fall:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {1}{x^2}\;\; g(x) = \frac 1 x \;\; a=1 \;\; b=\infty \end{eqnarray*}$

Mit dem Beispiel sollten alle Vorrausetzungen erfuellt sein, aber $\begin{eqnarray*} \int f \end{eqnarray*}$ existiert, waehrend $\begin{eqnarray*} \int g \end{eqnarray*}$ divergiert.

Vll. muss der andere Grenzwert auch noch existieren, also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to b} \frac{g(x)}{ f(x)} \end{eqnarray*}$

Dann gilt mein Gegenbeispiel nicht mehr.

Also ich bin mir nicht sicher, es steht hier nichts davon, das auch der Umgekehrte Bruch konvergieren müsste. Allerdings ist ja auch die Voraussetzung
f(x), g(x) >0 für alle x aus [a, b[ gefordert. Ich bin mir nun nicht sicher, ob das auch den Grenzwert einschließen würde. Und bei deinen Folgen wäre der Grenzwert ja Null, was also die Voraussetzugn verletzen würde.

03.10.2013, 12:23

chris95

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Zitat:

Original von neuling1
Also ich bin mir nicht sicher, es steht hier nichts davon, das auch der Umgekehrte Bruch konvergieren müsste. Allerdings ist ja auch die Voraussetzung
f(x), g(x) >0 für alle x aus [a, b[ gefordert. Ich bin mir nun nicht sicher, ob das auch den Grenzwert einschließen würde.

Nein, das schliesst den Grenzwert ja explizit aus.

Woher stammt denn die Aussage? Aus welchem Buch?

EDIT:

Ich habe es nachgeguckt:

Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ muss zwischen 0 und Unendlich liegen.

03.10.2013, 12:32

neuling1

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Ah ja du hast recht, tut mir sehr leid das ich das überlesen habe >.< Es ist aus dem Repetitorium der Analysis von Timmann.
Nun müsste das Kriterium ja stimmen? Da meine Anfangsidee mit dem "Limesumstellen" ja offenbar blödsinn ist, im Falle von unbeschränkten Grenzwerten der einzelnen Funktionen bin ich wieder ratlos :/

03.10.2013, 12:48

chris95

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Nutze aus, dass:

$\begin{eqnarray*} c := \lim_{x\to b} \frac{f(x)}{g(x)} > 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Damit exisitert ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in [a, b) \; s.d. \; \forall \; b > x> x_0: \frac{f(x)}{g(x)} > s - \frac s 2 \; bzw.\; \frac{f(x)}{g(x)} < s+ \frac s 2 \end{eqnarray*}$

03.10.2013, 14:15

neuling1

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Zitat:

Original von chris95
Nutze aus, dass:

$\begin{eqnarray*} c := \lim_{x\to b} \frac{f(x)}{g(x)} > 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Damit exisitert ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in [a, b) \; s.d. \; \forall \; b > x> x_0: \frac{f(x)}{g(x)} > s - \frac s 2 \; bzw.\; \frac{f(x)}{g(x)} < s+ \frac s 2 \end{eqnarray*}$

Ok, Danke für deinen Tipp. Dazu noch zwei Fragen. 1. meintest du mit s nicht c? Also den Grenzwert?
Oder ist s eine beliebige Zahl?
2. Wäre es sinnvoll zu versuchen das ganze auf das Majoranten/Minorantenkriterium zurückzuführen?

03.10.2013, 23:25

chris95

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Auf beides ein klares ja.

Da hab ich mich oben wohl verschrieben.

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