Normalverteilung

03.10.2013, 01:03	Sara1988	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilung Hallo ich habe folgende Aufgabe die ich nicht verstehe: Der Aufwandswert zur Herstellung eines Bauteils sei normalverteilt und weicht mit einem Ã=1 Stunde von dem Kalkulationswert ab. a) Wie Groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein konkreter Arbeitsschritt mit einer Abweischung von maximal ±0,5 Stunden erledigt wird. b) In welchem Bereich bewegen sich 75% der (symmetrischen) Abweichungen von der Norm? ich möchte gerne den Rechenweg verstehen und nicht einfach das Ergebnis, ich hoffe ihr könnt helfen.
03.10.2013, 02:25	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, um mit der Standardnormalverteilungstabelle zu arbeiten, ist es günstig die Zufallsvariable X zu normieren bzw. standardisieren: $\begin{eqnarray} Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \text{( standardisierte Zufallsvariable)} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} P(Z \leq z)=\Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) =\Phi (z) \end{eqnarray}$ Nun ist die Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2-\mu=0,5 \end{eqnarray}$ ist die Abweichung in eine Richtung und $\begin{eqnarray} x_1-\mu=-0,5 \end{eqnarray}$ die Abweichung in die andere Richtung. Das kann man jetzt einsetzen: $\begin{eqnarray} P(Z \leq z_2)=\Phi \left( \frac{0,5}{1} \right) =\Phi (0,5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(Z \leq z_1)=\Phi \left( \frac{-0,5}{1} \right) =\Phi (-0,5) \end{eqnarray}$ Die Fläche der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung zwischen $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} P( z_1 \leq Z \leq z_2)=\Phi (0,5)-\Phi (-0,5) \end{eqnarray}$ Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung gilt: $\begin{eqnarray} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray}$ Diesen Zusammenhang kann man für die vorherige Gleichung verwenden um sie zu vereinfachen. Dabei die notwendige Klammer nicht vergessen. Dann muss man noch die Tabelle der Standardnormalverteilung verwenden um den Wert für $\begin{eqnarray} \Phi(0,5) \end{eqnarray}$ nachzuschlagen. Grüße.

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