Ringhomomorphismen und Ideale

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Graf_Love Auf diesen Beitrag antworten »
Ringhomomorphismen und Ideale
Hallo ihr Lieben,

die Aufgabenstellungen, auf die ich mich beziehen werde, sind unten angehangen. Die Aufgaben sollten eigentlich leicht sein. Leider nicht fuer mich!

5 a) & b): schnell gezeigt, indem ich miteinander verrechnet habe und so die Krieterien gezeigt bzw. die gesuchte Annahme gezeigt habe.
c) Ich suche verzweifelt eine Menge von ganzzahligen Polynomen, die alle Funktionen mit 0-Stelle bei 4 enthalten und ein Ideal von Z[x] ist, jedoch nicht Z[x] selbst ist! Dachte an Dann ist aber A Teilmenge von I und nicht andersherum. und wenn ich als nehme, dann ist das Idealkriterium, dass ist, wenn , nicht erfuellt. Es muss aber irgendeine Menge dazwischen geben!

6 a): Subringtest, schnell gemacht.
6 b): Den Ring durch die Kriterien schieben, einfach.
6 c): Alle Elemente die auf 0 abbilden, also alle 2x2 Matrizen, bei denen die Eintraege die gleiche reelle Zahl a sind.
6 d) Hier hoert's auf. Ich habe nicht einmal eine Idee.
6 e) Ich nehme an ich soll zeigen, dass R zwar ein Integritaetsring aber kein Koerper ist?

7: hier scheitere ich schon an der ersten Aufgabe. Ich kann zeigen, dass 0 auf 0 abgebildet wird und 1 auf 1, aber ich habe ja nur die Homomorphismuseigenschaften zur Verfuegung und dass der Ring IR ist!

Kann mir jemand weiterhelfen?

Liebe Gruesse
Julia
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

5a),b) für deinen Beweis musst du vorher zeigen, dass alle Elemente von I von der Form sind.
Es geht aber viel einfacher wenn du die Definition der Addition und Multiplikation von Polynomen verwendest.
c) Um eine größere Menge zu erhalten muss du weniger Einschränkungen der Polynome haben, nicht mehr.
Ein Ideal größer als I ist z.B. (2,(x-4)).
Einfacher wäre aber folgendes Vorgehen:
Der Einsetzhom. hat I als Kern und als Bild keinen Körper.

6d) Homomorphiesatz, im Englischen vollkommen zu Recht als fundamental theorem on homomorphisms bekannt.
e) Kriterium: I max. <=> R/I ...
wohlgemerkt: R/I nicht R

Meiner Meinung nach ist Aufgabe 7a,b) falsch, mit dem Homomorphismus

als Gegenbeispiel.
Charlie Harper Auf diesen Beitrag antworten »

Captain Kirk, dein ist kein Homomorphismus, denn 2 geht auf 2, die Wurzel aus 2 aber auf 0.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Und mit diesem Stichwort "Wurzel" ist 7a) auch ganz schnell erledigt.
Graf_Love Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ihr habt mir sehr weitergeholfen!

@ Captain Kirk: Was 5 c) angeht habe ich leider nicht verstanden, was du meinst. Was soll (2,(x-4)) sein? Worauf du mit abzielst, verstehe ich leider auch nicht :-(

Aber 6d) und 6e) haben nun geklappt!
Was 7 angeht:
a) Danke für den Wurzeltip! Weil gilt kann ich die Wurzel ziehen:

b) Let with Then Then, because of a),
c) Schnell gezeigt dass f(0) = 0 und f(1) = 1 gilt. Dann gilt auch
Strategie nun: Ich kann jedes als 1*n oder als (-1)*n schreiben. Weil n eine natürliche Zahl ist, kann ich sie aus dem Homomorphismus rausziehen. Somit werden ganze Zahlen auf sich selbst abgebildet.
d) Dasselbe in grün.
Jedes kann ich als q=a/b=a*(b^{-1}) mit a,b aus Z schreiben.
b^(-1) existiert, weil Z ein Ring ist.
Dann ist wegen d). Also werden rationale Zahlen auf sich selbst abgebildet.

e) Hier weiß ich nicht wie ich's machen soll! Es fehlen ja "nur" noch die irrationalen Zahlen, damit ist.
Zum 2. Teil von Aufgabe e): Wenn Phi ein allgemeiner non-zero homomorphism von R auf sich selbst ist und trotzdem ist, dann habe ich damit doch alle non-zero Homomorphismen von R auf sich selbst gefunden! Ist die Aufgabe nicht hinfällig?

Liebe Grüße und noch einmal vielen Dank!
URL Auf diesen Beitrag antworten »

7e) du kannst jede irrationale Zahl zwischen zwei rationale einschließen. Das geht beliebig genau und mit 7b) bekommt man die Behauptung.
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

(2,x-4) ist das von 2 und (x-4) erzeugte Ideal.
Mit der Abb. ziele ich auf das gleiche wie in 6d,e) ab.
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