Konvergenz einer Folge

03.10.2013, 12:50	highq82	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Folge Hallo, ich habe Probleme bei folgender Augabe. Untersuche jeweils die Folge mit dem angegebenen n-ten Glied auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihren Grenzwert. $\begin{eqnarray} \frac{8^{n}log{n}+\left(-2\right)^{n^{2}} }{\left(2^{n}+n^{2}\right) ^{n} } \end{eqnarray}$ Rein vom Bauchgefühl würde ich sagen die Folge konvergiert. Ich habe allerdings keinen Ansatz wie ich es zeigen kann.
03.10.2013, 14:23	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge Dein Bauchgefühl täuscht Dich! Guck Dir mal an von welchem Term Zähler und Nenner dominiert werden! Diesen kannst Du jeweils ausklammern und kürzen. Kleiner Tipp: $\begin{eqnarray} (-1)^n=(-1)^{n^2}\text{ für alle }n\in\mathbb N. \end{eqnarray}$
03.10.2013, 15:36	highq82	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge Bist du dir da sicher? Ich habe gerade mal für n 1000 eingesetzt... Mein Computer sagt mir dass da 1 raus kommt, was ja für Konvergenz spricht.
03.10.2013, 19:25	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge Dann setz mal 1001 ein!
03.10.2013, 20:10	highq82	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge $\begin{eqnarray} \frac{8^{n}log{n}+\left(-2\right)^{n^{2}} }{\left(2^{n}+n^{2}\right) ^{n} } = \frac{ \left( -1 \right)^{n^{2}} \left( 2 \right)^{n^{2}}\left( \frac{ 8^{n}logn }{2^{n^{2}} }+1 \right) }{ 2^{n^{2}}\left( 1+\frac{ n^{2} }{2^{n} } \right)^{n} } \end{eqnarray}$ Die Klammer mit dem Logarithmus geht gegen 1, für n gegen unendlich und die Klammer im Nenner geht ebenfalls gegen 1. Wobei ich mir hier nicht sicher bin ob ich das zeigen müsste. Das 2 hoch n^2 kürzt sich weg und es bleibt die alternierende 1 übrig => divergent. Ist das so richtig?
04.10.2013, 17:29	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge Korrekt wäre: $\begin{eqnarray} \frac{8^n\ln(n)+(-2)^{n^2}}{\left(2^n+n^2\right)^n} = \frac{\frac{ 8^n\ln(n) }{2^{n^2}}+(-1)^n}{\left( 1+\frac{ n^2}{2^n} \right)^n} \end{eqnarray}$ Jetzt musste Dir nur noch für den Bruch im Zähler und für den Nenner was einfallen lassen. Betrachte dazu 1. $\begin{eqnarray} \frac{ 8^n\ln(n) }{2^{n^2}}=2^{3n-n^2}\ln(n) \end{eqnarray}$ 2.Induktiv verifiziert man leicht $\begin{eqnarray} 2^n\geq n^4\text{ für alle }n\geq 16. \end{eqnarray}$ Dann kannst Du wie folgt abschätzen: $\begin{eqnarray} 1\leq\left(1+\frac{n^2}{2^n}\right)^n\leq\left(1+\frac 1{n^2}\right)^n\leq\sqrt[n]{e}\longrightarrow 1 \end{eqnarray}$ abschätzen.
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