Integration (Substitution?)

03.10.2013, 13:29

abs_

Integration (Substitution?)

Ich kann folgende Integrationen über die reellen Zahlen nicht so richtig nachvollziehen:
also ich möchte gerne folgende Gleichungen integrieren:

$\begin{eqnarray*} -f(z)g^n(z)=0 \end{eqnarray*}$
bzw.

$\begin{eqnarray*} f(z)g^n(z)=0 \end{eqnarray*}$

wobei folgende Beziehungen gelten:
$\begin{eqnarray*} z=x-c(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(z) \to1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(z) \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \to \infty \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f(z) \to f_ {-\infty} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(z) \to g_ {-\infty} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \to -\infty \end{eqnarray*}$
zusätzlich sei $\begin{eqnarray*} v(t)=\frac{dc}{dt} \end{eqnarray*}$

dann soll da folgendes rauskommen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(z)g^n(z) \, dz = v(1-f_{- \infty}) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(z)g^n(z) \, dz = vg_{-\infty} \end{eqnarray*}$

...
Ich komme da beim besten Willen nicht drauf.
Zur ersten Integration... dort verstehe ich nicht warum das $\begin{eqnarray*} g^n \end{eqnarray*}$ aufeinmal wegfällt (und warum ich das nicht integriere) ansonsten ist es klar (Substitionsregel + Randwerte eingesetzt)

Bei der zweiten Integration verstehe ich nicht warum das $\begin{eqnarray*} g^n \end{eqnarray*}$ auf einmal zum $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ wird - und ebenso wie oben warum das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aufeinmal wegfällt....

04.10.2013, 10:47

abs_

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Weißt das denn hier niemand?

Oder kann es vll sein das die Lösung - so wie sie da steht - falsch ist ... und das vll noch irgendwelche anderen Annahmen gemacht wurden, die ich jetzt iwie übersehe, weil ich komme immer noch nicht richtig weiter...

04.10.2013, 17:58

Che Netzer

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RE: Integration ( Substitution?)

Zitat:

Original von abs_
also ich möchte gerne folgende Gleichungen integrieren:

$\begin{eqnarray*} -f(z)g^n(z)=0 \end{eqnarray*}$

Was soll das heißen? Eine Gleichung integrieren?

Zitat:

wobei folgende Beziehungen gelten:
$\begin{eqnarray*} z=x-c(t) \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Was ist $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

dann soll da folgendes rauskommen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(z)g^n(z) \, dz = v(1-f_{- \infty}) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(z)g^n(z) \, dz = vg_{-\infty} \end{eqnarray*}$

Wo steht das? Gib am besten an, wo man das ganze nachlesen kann, oder gib die Quelle zumindest im Original-Wortlaut an.

04.10.2013, 20:10

abs_

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schade, ich hab gedacht ich komme drum herum das alles abzutippen (hab nämlich nicht den link zum original ) - Es geht um "pemanent form travelling wave solution" (ich kürz das mal mit wwl (von wandernde wellen lösung) ab.
Also:

Zitat:

Satz :
Für eine wwl von Gleichung

$\begin{eqnarray*} \\&&f_{zz}+vf_z-fg^n =0 \\&&Dg_{zz}+vg_z-fg^n =0 \end{eqnarray*}$

gilt $\begin{eqnarray*} f \to 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g\to1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z\to -\infty \end{eqnarray*}$

Bew: Seien f(z) und g(z) wwl. Für $\begin{eqnarray*} z\to - \infty \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f \to f_{-\infty} \end{eqnarray*}$ und deshalb $\begin{eqnarray*} f_z , f_{zz} \to 0 \end{eqnarray*}$ . Deshalb gilt $\begin{eqnarray*} f_{-\infty} =0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g_{- \infty} =0 \end{eqnarray*}$ . Nachdem wir die Gleichung nach z von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ integriert haben erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \\&&\int_{-\infty}^{\infty} \! f(z)g^n(z) \, dz = v(1-f_{- \infty}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \\&&\int_{-\infty}^{\infty} \! f(z)g^n(z) \, dz = vg_{-\infty} \end{eqnarray*}$

Dies zeigt das $\begin{eqnarray*} f_{-\infty}+g{-\infty}=1 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} f_{-\infty}=0,g_{-\infty}=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f_{-\infty}=1,g_{-\infty}=0 \end{eqnarray*}$
...

Den letzten Teil spare ich mir mal (da wird noch bezug auf einen anderen Satz genommen und das hab ich eigentlich auch alles soweit verstanden - mir gehts halt nur ums Integral.

Ist das genug Info?
... wahrscheinlich nicht, so wirklich inforeich war das ja jetzt nicht.
Aber sonst ist auch egal (sonst muss ich den gesamten Text abtippen) ... ich werd dann mal wenn das semster wieder beginnt bei meine Kommilitonen fragen

04.10.2013, 21:07

Che Netzer

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Ah, das ist ja eine völlig andere Situation.
Jetzt hast du $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to\infty}f(z)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to-\infty}f(z)=f_{-\infty} \end{eqnarray*}$ , wenn ich mir das richtig zusammenreime. So steht es jedenfalls im Startbeitrag; die Grenzwerte im Zitat sind etwas komisch; die ignoriere ich dann einfach.
Ich nehme nur $\begin{eqnarray*} f_z\to0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z\to\pm\infty \end{eqnarray*}$ zusätzlich heraus.

Aus dem Zitat geht aber hervor, dass nicht (wie anfangs behauptet)
$\begin{eqnarray*} -f(z)g^n(z)=0 \end{eqnarray*}$
gilt, sondern
$\begin{eqnarray*} f_{zz}+vf_z-fg^n =0\,. \end{eqnarray*}$
Das stellst du jetzt um zu
$\begin{eqnarray*} fg^n=f_{zz}+vf_z\,. \end{eqnarray*}$
Jetzt über die reellen Zahlen integrieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty f(z)g^n(z)\dd z=\int_{-\infty}^\infty(f_{zz}+vf_z)\dd z=(f_z+vf)\big\vert_{z=-\infty}^\infty\,. \end{eqnarray*}$
Jetzt brauchst du nur noch die vier oben herausgesammelten Grenzwerte einsetzen.

04.10.2013, 21:23

abs_

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ah ok gut, habs jetzt verstanden. smile

Man das ich sowas nicht sehe...

Ich hatte einen Denkfehler drin:
$\begin{eqnarray*} f_{z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{zz} \end{eqnarray*}$ gehen gegen null. Deshalb hab ich die einfach null gesetzt (deswegen hatte ich $\begin{eqnarray*} -f(z)g^n(z)=0 \end{eqnarray*}$ ) - Aber ich integriere ja über den ganzen Bereich. Dann darf ich das ja gar nicht null setzen.

Danke smile

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