Aussagen mittels elementar-logische Operationen

03.10.2013, 20:08

Bodo85

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Aussagen mittels elementar-logische Operationen

Hallo liebes Forum,

Ich bearbeite mal wieder einige Aufgaben. heute geht es um das Formulieren von Aussagen mittels Zeichen für elementar - logische Operationen.

a) Das Produkt zweier reeller Zahlen a und b ist genau Null, wenn min. Eine der Zahlen Null ist.

b) Wenn eine natürliche Zahl durch 10 teilbar ist, ist sie auch durch 5 teilbar.

meine Ideen...

zu a) $\begin{eqnarray*} a \wedge b \in \mathbb R | a\wedge b = 0;a = 0 \vee b =0 \end{eqnarray*}$

zu b) $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N | x\subset 10 \Rightarrow x \subset 5 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das wenigstens nahe dran bin. Für Hilfe oder Tipps oder auch gerne Empfehlungen zum erarbeiten, ablesen o.ä. bin ich sehr dankbar.

03.10.2013, 20:20

kgV

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Naja, bei der a vertust du dich einerseits in der Dimension von R, andererseits bedeutet deine Formulierung: "wenn a und b Null sind, dann ist entweder a oder b Null" Hier musst du berücksichtigen, dass du ein Paar von zahlen hast und sowohl das "und" als auch den Strichpunkt durch ein adäquates Zeichen ersetzen smile

smile

Bei der b stimmt zwar die Definition des Bereiches von x, aber warum danach x eine Teilmenge von 10 sein soll, ist mir schleierhaft (und auch falsch)

Hinweis Eine zahl hießt teilbar durch eine zahl, wenn das Ergebnis ganzzahlig ist. Hier würde ich die Bedingung an x ansetzen

Lg
kgV
Wink

Wink

04.10.2013, 10:14

Bodo85

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ok, vielen Dank, ich habe wirklich Probleme mit der Syntax....
Finde auch irgendwie nichts richtiges um es nachzulesen.

Aber hier die Aufgabe a) nochmal....

$\begin{eqnarray*} a\wedge b\in \mathbb N | a\wedge b = 0\Rightarrow a\vee b=0 \end{eqnarray*}$

An b) habe ich mich auch versucht.... aber es wirkt auf mich schon komisch...

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N |x:10\Rightarrow x:5 \end{eqnarray*}$

...

Vielen Dank für die schnelle Antwort gestern!

Besten Gruß

04.10.2013, 13:24

Math1986

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Zitat:

Original von Bodo85
ok, vielen Dank, ich habe wirklich Probleme mit der Syntax....
Finde auch irgendwie nichts richtiges um es nachzulesen.

Aber hier die Aufgabe a) nochmal....

$\begin{eqnarray*} a\wedge b\in \mathbb N | a\wedge b = 0\Rightarrow a\vee b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\wedge b \end{eqnarray*}$ ist so nicht definiert, die Rede in der Aufgabenstellung ist vom "Produkt" $\begin{eqnarray*} a\cdot b=0 \end{eqnarray*}$ .
Genauso ist $\begin{eqnarray*} a\vee b \end{eqnarray*}$ nicht definiert, gemeint ist wohl $\begin{eqnarray*} a=0\vee b=0 \end{eqnarray*}$

Des Weiteres ist oben von einem "genau dann.., wenn" und von "reellen Zahlen" (statt von natürlichen Zahlen) die Rede.

Zitat:

Original von Bodo85

An b) habe ich mich auch versucht.... aber es wirkt auf mich schon komisch...

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N |x:10\Rightarrow x:5 \end{eqnarray*}$

Ist auch komisch. $\begin{eqnarray*} x:10 \end{eqnarray*}$ ist keine Aussage.

Überleg dir erstmal, wie du die Aussage "x ist durch 10 teilbar" formulieren kannst.

04.10.2013, 17:53

Bodo85

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So ich habe mir nochmal Gedanken gemacht. Finden tue ich immer noch nichts wie ich eine mögliche Teilbarkeit formuliere. Mag auch sein, dass das Problem wieder zwischen den Kopfhörern besteht... verwirrt

verwirrt

a) $\begin{eqnarray*} a\wedge b\in \mathbb R | a \cdot b= 0 \Rightarrow a=0\vee b=0<br /> \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N | (x|10) \Rightarrow (|5) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nun immer noch nicht an die Lösung angenähert habe bitte ich um einen Tipp wo man die Syntax nachlesen kann.
Wenn ich nach etwas suche, treffe ich immer nur auf die Aussagenlogik,
in den es um Negationen, Konjunktionen, Disjunktionen, Implikationen und Äquivalenz geht... Da fühle ich mich aber nur zum Teil richtig aufgehoben.

Besten Gruß²

04.10.2013, 18:21

Math1986

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Zitat:

Original von Bodo85
a) $\begin{eqnarray*} a\wedge b\in \mathbb R | a \cdot b= 0 \Rightarrow a=0\vee b=0<br /> \end{eqnarray*}$

Schon besser. Nun haben wir hier aber eine "genau dann, wenn" Aussage, was heißt das?

Außerdem ist richtig $\begin{eqnarray*} a, b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , das $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ wird nur (genau wie das $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ ) zur Verknüpfung zweier logischer Aussagen verwendet.

Anstelle von | verwendest du den Doppelpunkt.

Zitat:

Original von Bodo85
b) $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N | (x|10) \Rightarrow (|5) \end{eqnarray*}$

Wenn man $\begin{eqnarray*} x|10 \end{eqnarray*}$ als "x wirsd von 10 geteilt" interpretieren möchte dann ja, allerdings ist mir diese Notation nicht geläufig, allenfalls in umgekehrter Reihenfolge der Argumente verwirrt

verwirrt

Woher hast du diese Notation?

Zitat:

Original von Bodo85
Wenn ich mich nun immer noch nicht an die Lösung angenähert habe bitte ich um einen Tipp wo man die Syntax nachlesen kann.
Wenn ich nach etwas suche, treffe ich immer nur auf die Aussagenlogik, in den es um Negationen, Konjunktionen, Disjunktionen, Implikationen und Äquivalenz geht... Da fühle ich mich aber nur zum Teil richtig aufgehoben.

Warum "nicht richtig aufgehoben"? Genau darum geht es doch, und zumindest die Konjunktion scheint dir ja immer noch nicht geläufig zu sein, sonst würdest du hier nicht sowas wie $\begin{eqnarray*} a\wedge b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ schreiben, und das "Konjunktionszeichen" dort setzen, wo überhaupt keine Konjunktion ist.. Und da erklärt man auch die Notation dazu.

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04.10.2013, 19:02

Bodo85

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ok...
ich habe es nicht für falsch erachtet, dass ich a und b konjungiert habe. Ich habe mir jetzt die ganze Zeit über die Definitionsbereiche nicht soviele Gedanken gemacht.

Ich bin gerade darauf gestoßen, dass ich vielleicht statt der Implikation lieber das Äquivalenz nehmen sollte. Wenn ich es richtig verstanden habe, bedeutet Implizieren soviel wie

"Wenn die erste Aussage wahr ist, kann die zweite Aussage auch wahr sein, ist die erste Aussage aber falsch, kann die zweite alles sein".

Das klingt in meinem Fall irgendwie nicht richtig. Ich möchte ja ausdrücken, dass wenn die erste Aussage wahr ist, ist die Zweite auch wahr oder wenn die erste Aussage falsch ist, ist die Zweite auch falsch... oder?

$\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R | a \cdot b= 0 \leftrightarrow a=0\vee b=0 \end{eqnarray*}$

zu der Aufgabe b)

Wenn ich den | durch : ersetze.. ist die Aufgabe richtig? Dann war ich ja garnicht so weit von der Lösung entfernt.

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N | (x:10) \Rightarrow (x:5) \end{eqnarray*}$

Bez. der Notationen.. ich habe einfach versucht logisch zu denken, weil ich einfach unfähig bin im Internet die richtigen Zeichen zu finden.

Was sagst du jetzt zu den Aufgaben?

04.10.2013, 21:53

Math1986

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Zitat:

Original von Bodo85
Ich bin gerade darauf gestoßen, dass ich vielleicht statt der Implikation lieber das Äquivalenz nehmen sollte. Wenn ich es richtig verstanden habe, bedeutet Implizieren soviel wie

"Wenn die erste Aussage wahr ist, kann die zweite Aussage auch wahr sein, ist die erste Aussage aber falsch, kann die zweite alles sein".

Das klingt in meinem Fall irgendwie nicht richtig. Ich möchte ja ausdrücken, dass wenn die erste Aussage wahr ist, ist die Zweite auch wahr oder wenn die erste Aussage falsch ist, ist die Zweite auch falsch... oder?

$\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R | a \cdot b= 0 \leftrightarrow a=0\vee b=0 \end{eqnarray*}$

Eben, genau darauf wollte ich hinaus:
$\begin{eqnarray*} \forall a,b\in \mathbb R \colon a \cdot b= 0 \Leftrightarrow a=0\vee b=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Bodo85
zu der Aufgabe b)

Wenn ich den | durch : ersetze.. ist die Aufgabe richtig? Dann war ich ja garnicht so weit von der Lösung entfernt.

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N | (x:10) \Rightarrow (x:5) \end{eqnarray*}$

Und was für eine Aussage ist $\begin{eqnarray*} (x:10) \end{eqnarray*}$ ?
Du kannst den Folgepfeil nur auf Aussagen verwenden.

Habt ihr zur Teilbarkeit irgendetwas in der Vorlesung behandelt was man da anwenden könnte?

Zitat:

Original von Bodo85
Bez. der Notationen.. ich habe einfach versucht logisch zu denken, weil ich einfach unfähig bin im Internet die richtigen Zeichen zu finden.

Dein Problem liegt wohl eher darin, dass du der Auffassung zu seien scheinst, mit ein wenig logischem Denken kommst du darum, dir die entsprechende Lektüre dazu durchzulesen, weil du dich dabei ja doch nicht "richtig aufgehoben" fühlst. Du solltest dich mal grundliegend damit beschäftigen, nicht nur mit der Notation als solcher.

05.10.2013, 12:04

Bodo85

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Mag ja sein, dass das in der Vorlesung an mir vorbeigerauscht ist... aber ich kann auch nichts in meinen Unterlagen über eine Teilbarkeit finden...
Ich habe erst vermutet, dass es was mit der Mengenlehre zu tun hat... aber so wie ich das verstehe, geht es da nur darum Mengen miteinander zu "verbinden" od. "auszuschließen".. aber wirklich eine Teilbarkeit abzuprüfen?!

Ich habe wirklich keine Ahnung wie ich das darstellen soll.

Als ich mit dem Thema angefangen habe war ich auf dem Trichter, dass ich das

$\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$

nehmen muss..

05.10.2013, 12:12

Math1986

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Ja, deine Herangehensweise, einfach irgendwelche Symbole zu verwenden, die du irgendwann mal irgendwo gesehen hast, ist so nicht zielführend.

Okay, ganz grundliegend ist die Darstellung für "x ist durch y teilbar" (in underem Falle also y=10 bzw. y=5):
$\begin{eqnarray*} \exists n\in\mathbb N\colon x=n\cdot y \end{eqnarray*}$
Du kannst da mal drüber nachdenken, und das in den obigen Ausdruck einsetzen, der war bis auf diesen Ausdruck soweit richtig.

05.10.2013, 18:21

Bodo85

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Ich versuche erst einmal den Satz zu interpretieren.
Für mich bedeutet deine Formel:

"n ist ein Element der Natürlichen Zahlen, welche sich durch x teilen lässt. Das Ergebnis daraus ist n * y"

y ist dabei mit 5 bzw. 10 vergeben. Aus diesem Grund würde ich jetzt noch eine Konjunktion einbauen. Aber 3 Variabeln...

Es ergibt für mich irgendwie keinen Sinn....

05.10.2013, 18:25

Math1986

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Zitat:

Original von Bodo85
Ich versuche erst einmal den Satz zu interpretieren.
Für mich bedeutet deine Formel:

"n ist ein Element der Natürlichen Zahlen, welche sich durch x teilen lässt. Das Ergebnis daraus ist n * y"

Ja, genau das heißt es. Dass eben x durch y teilbar ist, heißt ja gerade, dass es ein solches natürliches n gibt, so dass x das Produkt von y und n ist.

Wie würdest du nun weiter vorgehen?

06.10.2013, 09:43

Bodo85

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Ich würde jetzt das y mit 10 ersetzen und eine Konjunktion einbauen um die gleiche Aussage einmal konjungieren um auch die 5 verarbeiten zu können?

06.10.2013, 09:50

Math1986

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Nicht Konjugation, sondern Implikation. Wie oben.

06.10.2013, 10:03

Bodo85

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$\begin{eqnarray*} \exists n\in \mathbb N :x=n \cdot 10 \Rightarrow : x = n \cdot 5 \end{eqnarray*}$

....? verwirrt

verwirrt

06.10.2013, 10:09

Math1986

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Zitat:

Original von Bodo85
$\begin{eqnarray*} \exists n\in \mathbb N :x=n \cdot 10 \Rightarrow : x = n \cdot 5 \end{eqnarray*}$

....? verwirrt

verwirrt

Das "zweite n" ist natürlich eine andere Zahl als das "erste n": wenn $\begin{eqnarray*} x=n \cdot 10 \end{eqnarray*}$ ist, dann kann nicht auch $\begin{eqnarray*} x=n \cdot 5 \end{eqnarray*}$ sein.

Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb R\colon\exists n\in\mathbb N :x=n\cdot 10 \Rightarrow\exists m\in\mathbb N: x = m\cdot 5 \end{eqnarray*}$

06.10.2013, 12:20

Bodo85

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Es kommt langsam Licht in das Dunkle...

Warum kommt noch ein : nach der Deklaration der reellen Zahlen von x ?

Ich möchte dir ganz herzlichst danken für deine Ausdauernde Hilfestellung.
Aber wie man einen Teiler erstellt.. habe ich wirklich noch nicht gesehen!
Vielleicht kannst du noch eine gute Seite empfehlen?

06.10.2013, 13:25

Math1986

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Zitat:

Original von Bodo85
Es kommt langsam Licht in das Dunkle...

Warum kommt noch ein : nach der Deklaration der reellen Zahlen von x ?

Das heißt soviel wie "für alle reellen Zahlen von x gilt..."

Zitat:

Original von Bodo85
Ich möchte dir ganz herzlichst danken für deine Ausdauernde Hilfestellung.
Aber wie man einen Teiler erstellt.. habe ich wirklich noch nicht gesehen!
Vielleicht kannst du noch eine gute Seite empfehlen?

Speziell dazu jetzt nichts, aber es gibt einige gute Werke im Einsteigerbereich Aussagenlogik

06.10.2013, 13:55

kgV

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Verständnistechnisch könnte die Erwähnung des Zusammenhanges $\begin{eqnarray*} 2n=m \end{eqnarray*}$ helfen, sodass man auch mit einem Ausdruck weniger auskommt smile

smile

Bin aber schon wieder weg Wink

Wink

10.10.2013, 20:49

Bodo85

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Guten Abend,

ich wollte mich nochmal für die Hilfe bedanken und ein Feedback geben.
Aufgabe a) war laut Vorlesung zu 100% richtig.

Zu Aufgabe b) haben wir allerdings folgende Musterlösung bekommen.

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N :\frac{n}{10} \in \mathbb N \Rightarrow \frac{n}{5}\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

als alternative Schreibweise auch folgende möglich:

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N :10|n \in \mathbb N \Rightarrow 5|n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Besten Gruß
Bodo

10.10.2013, 22:09

Math1986

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Zitat:

Original von Bodo85
Zu Aufgabe b) haben wir allerdings folgende Musterlösung bekommen.

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N :\frac{n}{10} \in \mathbb N \Rightarrow \frac{n}{5}\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

als alternative Schreibweise auch folgende möglich:

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N :10|n \in \mathbb N \Rightarrow 5|n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

So geht das auch. Es gibt da keine eindeutige Lösung. Wurde deine Abgabe denn als falsch angekreidet?

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