Abbildungen und Funktionen

04.10.2013, 11:25

Bodo85

Abbildungen und Funktionen

Guten Tag zusammen,

ich möchte dieses mal nur eine Aufgabe überprüfen lassen, ob ich das Thema verstanden habe.

Ich habe 3 Funktionen gegeben:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^+ -> \mathbb R^+ ,f(x)= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R^+ -> \mathbb R^+ ,g(x)= 1+ x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h:\mathbb R^+-> \mathbb R^+ ,h(x)= x^{2} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe lautet selbst:

$\begin{eqnarray*} f\times g\times h \end{eqnarray*}$

Meine Lösung dazu lautet:

$\begin{eqnarray*} f\times g\times h: \mathbb R^+ -> \mathbb R^+ ,f(g(h(x))) = \frac{1}{2} + x^{3} \end{eqnarray*}$

Es ist das erste mal, dass ich mit Abbildungen zu tun habe, aber wenn ich die Erklärungen verstanden habe, sollte das Ergebnis richtig sein und die Schreibweise sollte auch richtig sein... oder ?

Besten Gruß

04.10.2013, 11:35

10001000Nick1

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Kann es sein, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f\circ g\circ h \end{eqnarray*}$ heißern soll? Das wäre dann gleich $\begin{eqnarray*} f(g(h(x))). \end{eqnarray*}$

Dein Ergebnis stimmt nicht. Was wäre denn $\begin{eqnarray*} (g\circ h)(x)=g(h(x)) \end{eqnarray*}$ ?

04.10.2013, 11:44

Bodo85

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Stimmt, da habe ich gepennt. Natürlich soll das

$\begin{eqnarray*} f \circ g \circ h \end{eqnarray*}$

bedeuten. Sorry mein Fehler!

$\begin{eqnarray*} g \circ h \end{eqnarray*}$

würde folgendes bedeuten:

$\begin{eqnarray*} g(h(x))= x^{3}+ 1 \end{eqnarray*}$

oder nicht?!

04.10.2013, 11:45

10001000Nick1

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Wieso "hoch 3"?

04.10.2013, 12:01

Bodo85

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nun ja... ich habe verstanden, dass ich
g* h rechnen muss.

also...
$\begin{eqnarray*} x^{2}(1+ x)= x^{2} + x^{3} \end{eqnarray*}$

....ich glaube ich mache nach dem Thema eine Pause....

Jetzt sag bitte dass das stimmt.

04.10.2013, 12:06

10001000Nick1

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Nein. $\begin{eqnarray*} g\cdot h \end{eqnarray*}$ ist etwas anderes als $\begin{eqnarray*} g\circ h \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} (g\circ h)(x)=g(h(x))=g(x^2) \end{eqnarray*}$
Du setzt dieses $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ also in g ein (für x). Was dann raus kommt, ist $\begin{eqnarray*} (g\circ h)(x). \end{eqnarray*}$

04.10.2013, 12:16

Bodo85

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jetzt bin ich baff...

wenn du jetzt gesagt hättest :

$\begin{eqnarray*} g\circ h : g(h(x))= 1+ x^{2} \end{eqnarray*}$

hätte das für mich mehr Sinn ergeben.
Also, wenn man nur das x mit dem "neuem" x der eingesetzten Funktion ersetzt...

04.10.2013, 12:19

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bodo85
jetzt bin ich baff...

wenn du jetzt gesagt hättest :

$\begin{eqnarray*} g\circ h : g(h(x))= 1+ x^{2} \end{eqnarray*}$

hätte das für mich mehr Sinn ergeben.

Das ist doch richtig. Habe ich etwas anderes gesagt?

Jetzt willst du $\begin{eqnarray*} (f\circ g\circ h)(x)=f(g(h(x)))=f(1+x^2) \end{eqnarray*}$ berechnen. Kriegst du das auch raus?

04.10.2013, 12:34

Bodo85

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hmm... dadurch, dass quasi 2 mal das x ersetzt weird sollte, wenn ich jetzt nicht wieder einen Denkfehller mache, dass Ergebnis wie folgt lauten?!

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

da.

$\begin{eqnarray*} f(g(x))= \frac{1}{1+ x} \end{eqnarray*}$

sein sollte und

$\begin{eqnarray*} f(g(h(x)))= \frac{1}{1+ x^2} \end{eqnarray*}$

...
zum Schluss wird das x ja wieder durch das x² ersetzt oder ?

04.10.2013, 12:35

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bodo85
$\begin{eqnarray*} f(g(h(x)))= \frac{1}{1+ x^2} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig.

Zitat:

Original von Bodo85
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt nicht.

04.10.2013, 12:47

Bodo85

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DANKE!

Ich muss an meiner Ausdrucksweise arbeiten... Das habe ich begriffen..

Ich meine natürlich als Ergebnis wie zu Beginn erfragt:

$\begin{eqnarray*} f(g(h(x)))= \frac{1}{1+ x^2} \end{eqnarray*}$

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