verschwindender Kommutator

04.10.2013, 14:40	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
verschwindender Kommutator die Aufgabe: Let $\begin{eqnarray} \|\psi\rangle \end{eqnarray}$ be a simultaneous eigenstate of two operators $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ . Prove that this implies a vanishing commutator $\begin{eqnarray} [A,B] \end{eqnarray}$ . Ansatz: die Wirkung des Kommutators auf den gemeinsamen Eigenzustand kann ich nachrechnen $\begin{eqnarray} [A,B]\|\psi\rangle = AB\|\psi\rangle - BA\|\psi\rangle = ab\|\psi\rangle - ba\|\psi\rangle =0 \end{eqnarray}$ ich weiss aber nicht wie ich die Wirkung für beliebiges $\begin{eqnarray} \|\varphi\rangle \end{eqnarray}$ verallgemeinern soll, also $\begin{eqnarray} [A,B]\|\varphi\rangle =? \end{eqnarray}$ Gruß Nobundo
09.10.2013, 10:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist missverständlich formuliert. Gemeint ist, dass die Operatoren A, B nicht nur einen einzigen simultanen Eigenzustand haben, sondern alle Eigenzustände $\begin{eqnarray} \psi_k \end{eqnarray}$ des Operators A sollen zugleich Eigenzustände von B sein und umgekehrt. Weiterhin wird verschwiegen, dass die simultanen Eigenzustände $\begin{eqnarray} \psi_k \end{eqnarray}$ vollständig sein müssen, d.h. für jede Funktion $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ existiert eine Linearkombination $\begin{eqnarray} \psi=\sum c_k\psi_k \end{eqnarray}$ . Zudem wird zum Beweis die Linearität der Operatoren A, B benötigt. Bezeichnet man mit $\begin{eqnarray} a_k, b_k \end{eqnarray}$ die Eigenwerte von A, B, so lauten folglich die Eigenwertgleichungen für die identischen Eigenzustände $\begin{eqnarray} \psi_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\psi_K=a_k\psi_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B\psi_K=b_k\psi_k \end{eqnarray}$ Damit folgt das Gewünschte $\begin{eqnarray} (AB-BA)\psi=(AB-BA)\sum c_k\psi_k=\sum c_k(AB\psi_k- BA\psi_k)=\sum c_k(Ab_k\psi_k- Ba_k\psi_k) =\sum c_k\underbrace{(a_kb_k\psi_k- b_ka_k\psi_k)}_{=0}=0 \end{eqnarray}$

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