Umwandlung: Geradengleichungen

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04.10.2013, 18:08

Koordifritzl

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Umwandlung: Geradengleichungen

Hallo,

wie wandle ich eine Gerade (in der Ebene) von der Hesseschen Normalenform in eine Koordinatenform um?

04.10.2013, 18:35

Koordifritzl

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Hallo nochmal,

ich hab mir kurz ein BEispiel ausgedacht und möchte meine Fragen daran stellen:

Gegeben ist eine Gerade in Parameterform:

$\begin{eqnarray*} g: \vec x = (1,2) + k*(3,4) \end{eqnarray*}$

Dann lautet die Gerade in Koordinatenform:

$\begin{eqnarray*} x = 1+3k, y = 2+4k -> 4x-3y = -2 \end{eqnarray*}$

Der Normalenvektor lautet (-4,3)
d.h. die Normalengleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} g: (\vec r - \vec a) * \vec n = 0<br /> \\<br /> g: (\vec r - (1,2)) * (-4,3) = 0 \end{eqnarray*}$

Und die Hessesche Normalenform:

$\begin{eqnarray*} g: (\vec r - (1,2)) * (-4,3) * 1/5 = 0 \end{eqnarray*}$

Ist dies soweit korrekt?

Wenn ja:

1. Wie erhalte ich den Abstand der Geraden zum Ursprung?
2. Wie erhalte ich den Abstand der Geraden zu einem Punkt Q (der nicht auf der Geraden liegt!)?
3. Wie forme ich wieder von der HNF in die Koordinatenform um?

04.10.2013, 20:34

opi

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Die Gleichungen stimmen.
Zur Abstandsberechnung setzt Du für $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ den Ortsvektor eines Punktes in die Gleichung $\begin{eqnarray*} \left|\left[ \vec r -\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}\right| =d \end{eqnarray*}$ ein und multiplizierst skalar aus. Hier erklärt sich auch das $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ der HNF: Der Abstand eines Punktes der Geraden zur Geraden ist Null. Augenzwinkern

Zur Umwandlung in die Koordinatenform setzt Du $\begin{eqnarray*} \vec r= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in die passende Gleichung ein.

07.10.2013, 09:04

Koordifritzl

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Hey, danke dir!

Bedeutet es eigentlich etwas besonderes, wenn eine Ebene diese Form hat:

ax + by + cz = 0

?

07.10.2013, 21:31

opi

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Weil auf der rechten Seite der Gleichung Null steht?
Setze einmal die Koordinaten des Ursprungs in diese Gleichung ein und schaue, was passiert. Augenzwinkern

12.10.2013, 16:20

Koordifritzl

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Zitat:

Original von opi
Die Gleichungen stimmen.
Zur Abstandsberechnung setzt Du für $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ den Ortsvektor eines Punktes in die Gleichung $\begin{eqnarray*} \left|\left[ \vec r -\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}\right| =d \end{eqnarray*}$ ein und multiplizierst skalar aus. Hier erklärt sich auch das $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ der HNF: Der Abstand eines Punktes der Geraden zur Geraden ist Null. Augenzwinkern

Zur Umwandlung in die Koordinatenform setzt Du $\begin{eqnarray*} \vec r= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in die passende Gleichung ein.

Hallo, ich nochmal.

Um in der Ebene den Abstand eines Punktes P von der Geraden zu erhalten setze ich die Koordinaten des Punktes P also in die Normalengleichung ein, nicht in die Hessesche-Normalengleichung?

Also wenn ich Punkt P (18, 4) habe, dann ist der Abstand mit

$\begin{eqnarray*} \left|\left[ \vec r -\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}\right| =d \end{eqnarray*}$

zu berechnen, d.h.:

|d| = 62.

Wieso setzt man diesen Punkt nicht in die HNF-Gleichung ein?

12.10.2013, 16:58

opi

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Zitat:

Original von Koordifritzl
Wieso setzt man diesen Punkt nicht in die HNF-Gleichung ein?

Doch, man setzt in in die HNF ein. Ich hatte leider in der Formel die Normierung nicht mitgetippt:

$\begin{eqnarray*} \left|\left[ \vec r -\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}\right|\cdot \frac 1 5 =d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=62\cdot \frac 1 5 =12{,}4 \end{eqnarray*}$ ist dann auch richtig, eventuell noch durch Angabe einer Längeneinheit ergänzt.

12.10.2013, 19:24

Koordifritzl

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Alles klar!

Welche Bedeutung hat dann die "gewöhnliche" Normalengleichung?

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