Sattelpunkt - Wendepunkt |
| 05.10.2013, 03:59 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Sattelpunkt - Wendepunkt ich habe eine kleine frage. es geht um wendepunkte und sattelpunkte und die dritte ableitung. wenn ich z.b. die funktion f(x)=x^7 + 5 untersuche, dann weiß ich dass diese bei x=0 einen sattelpunkt hat. nun steht in vielen büchern dass ein sattelpunkt ein spezieller wendepunkt mit der steigung 0 ist, also f'(0)=0 und f''(0)=0 wenn ich die null nun in die dritte ableitung einsetze, erhalte ich ebenfalls 0 aber: im mathebuch steht für wendepunkte als notwendige bedingung gilt: f''(0)=0 und f'''(0) ungleich 0 genau damit komme ich im moment nicht klar, weil bei der gewählten funktion ja tatsächlich ein sattelpunkt vorliegt und die dritte ableitung null ist. könnt ihr mir bitte weiterhelfen, danke, andy |
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| 05.10.2013, 07:32 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn das hinreichende Kriterium für Extrem- oder Wendepunkte versagt, dann kann man mit dem immer funktionierenden Vorzeichenwechselkriterium arbeiten. Hier kann man also ebenso untersuchen, ob in x=0 ein Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung (also ein Krümmungswechsel) stattfindet. |
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| 05.10.2013, 09:45 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Ist Sattelpunkt ein Wendepunkt?
Das ist keine notwendige Bedingung, sondern nur eine hinreichende 
(und eine stärkere Form könnte auch den hier vorliegenden Fall erschlagen) |
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| 05.10.2013, 14:59 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| die blöden sattelpunkte - schulbuchregeln zunächst mal danke für die antworten, aber richtig weiter bringen sie mich nicht: das mädchen mit dem ich mathe lerne, lernt in der schule genau folgendes: einen wendepunkt kriege ich, indem ich die zweite ableitung zu null setze: die lösungen für diese gleichung sind die kandidaten für die wendestellen. nun setze ich diese in die dritte ableitung ein, und es muss eine zahl ungleich null raus- kommen. ... jetzt habe ich mit meinem rechenbeispiel (oben) den fall: f(x) hat bei x=0 einen sattelpunkt wo das so ganz einfach nicht stimmt wie sie es beigebracht kriegen. meine frage: 1. warum lernen die dann sowas in der schule? 2. was sind denn nun die bombensicheren kriterien für einen wendepunkt? zu 2. habe ich mir folgende gedanken gemacht: ein wendepunkt ist ein punkt, wo die steigung maximal oder minimal ist, also die erste ableitung einen hochpunkt oder tiefpunkt hat. jetzt stelle ich mir die frage ob es einen fall gibt, wo die zweite ableitung ein x enthält (also nicht: f''(x)=0), ich setze f'' dann zu null und bekommen ein x raus, und das ist dann keine wendestelle? danke für evt. antworten, andy |
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| 05.10.2013, 15:02 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es gibt (hier) noch eine andere Methode: Man bildet alle weiteren Ableitungen, so lange, bis eine Ableitung nicht mehr Null ist. Ist diese von ungeradzahliger Ordnung, liegt ein Wendepunkt vor, bei geradzahliger Ordnung ein Extremum. Mit dessen Vorzeichen kann dann - wie gewohnt - die Art des Extremums bestimmt werden. Beispiele: mY+ |
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| 05.10.2013, 15:17 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke, aber müsste es, wenn ich eine ganzrationale funktion ableite, nicht heißen: .. so lange bis eine ableitung null ist .. ? andy |
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| 05.10.2013, 15:21 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eben nicht. Es wird ja nicht die Ableitung per se untersucht, sondern der Wert der Ableitung an der Stelle 0. Da ergibt sich - bei Beispiel 1 - immer Null, bis man zu der 3. Ableitung kommt: Diese ist 6. mY+ |
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| 05.10.2013, 15:28 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke, gut, das leuchtet mir ein. und das ließe sich auch vermitteln, aber davon seh ich jetzt mal ab, weil dass schulmathematisch bei den meisten kindern eher für mehr als für weniger verwirrung sorgen dürfte :-( nun frage ich mich warum die in der schule so was löchriges lernen, wenn sich mit einfachen beispielen fälle konstruieren lassen, wo das nicht zutrifft? andy |
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| 05.10.2013, 16:12 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hast du den Weg nicht verstanden, den ich dir genannt habe oder gar nicht erst gelesen ? Dieser Weg ist (zumindest an Schulen in NRW) durchaus üblich und wird oft sogar noch vor dem hinreichenden Kriterium gelehrt.
Wieso ? Es wird ja nur gesagt, dass im Falle eines Wendepunktes die 3. Ableitung ungleich null sein muss. Es wird ja nicht gesagt, dass wenn die 3. Ableitung gleich null ist, dann automatisch KEIN Wendepunkt vorliegt. |
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| 05.10.2013, 19:33 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
björn: genau was du äußerst ist jedem klar und gängiger unterrichtsstandard: wenn die zweite ableitung eine nullstelle mit vorzeichenwechsel hat, liegt auf jeden fall ein wendepunkt vor. nur gilt das eben nicht für alle wendepunkte. nun verwirrt es mich, dass lehrer nicht (direkt) sagen dass sich ganz einfache funktionen mit wendepunkte finden lassen wo das nicht so ist und die durch dieses raster fallen. diese funktionen haben einen wendestelle wo f''(x) und f'''(x) beidesmal null ist. eben wie in dem von mir beschriebenen beispiel. wenn ich also von einer funktion alle wendepunkte suche und gehe nach dem von dir beschriebenen verfahren vor, so kann es sein ich finde nur einige und nicht alle. diesbezüglich scheint mir myhtos' lösung am plausibelsten. andy |
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| 05.10.2013, 19:45 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja was denn nun, gilt es jetzt immer oder nicht? Nenn mir ein Beispiel wo es deiner Meinung nach nicht klappt. Bei deinem Beispiel klappt es doch problemlos. Und nochmal hierzu:
Warst du dabei, als der Lehrer das angeblich so erklärt haben soll ? Nicht zu unterschätzen ist nämlich, wie das denn nun wirklich formuliert wurde und wie es der Schüler letztendlich verstanden bzw. missverstanden hat. Auch Aufzeichnungen im Heft sind oft nur die halbe Wahrheit. 
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