Zahlenfolgen Bildungsvorschrift und Monotonie

05.10.2013, 14:45

Rivago

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Zahlenfolgen Bildungsvorschrift und Monotonie

Hallöchen

smile

Wir haben gerade mit Zahlenfolgen angefangen und eine Hausaufgabe aufgekriegt.

Bei der ersten Aufgabe sieht das wie folgt aus:

an = n - 100/n

Also das n bei an ist tief gestellt. Das 100/n ist ein Bruch.

Nun hab ich erstmal a n+1 aufgestellt.

Das sieht wie folgt aus: a n+1 = (n+1) - 100/(n+1)

Um nun die Monotnie zu untersuchen muss ich ja a n+1 minus an rechnen.

Das würde dann so aussehen:

a n+1 - an = (n+1) - 100/(n+1) - (n - 100/n)

Jetzt komm ich an der Stelle leider nicht weiter. Wie muss ich das denn ausmultiplizieren? Wie sieht dnen mein Hauptnenner aus bzw wie bilde ich den?

Aufgabe 2 sieht so aus:

an = (1; 1/3; 1/5; 1/7; 1/9; ...)

Hier muss ich erst die Bildungsvorschrift bilden und dann auf Monotonie untersuchen.

Ich hab hier schon bei der Bildungsvorschrift Probleme. Sehe die Schritte nicht, wie sich die Folge "erweitert".

durch probieren kam ich auf folgendes:

an= n / 2n +1

Wenn ich dann noch a n+1 bilde und dann Nachfolger - Vorgänger rechne, ausmultipliziere usw.. komm ich auf 1 / Hauptnenner..

Also 1>0 und somit monoton steigend.

Glaube aber nicht dass das so richtig ist.

Könnt ihr mir helfen?

05.10.2013, 15:09

kgV

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Aufgabe 1:
Bis dato: Alles richtig Freude

Freude

Den Hauptnenner bildest du (auf die brutale Art), indem du alle Terme mit allen Nennern erweiterst (ausgenommen die, die sie schon selber haben), aber das habt ihr doch sicher gemacht, oder?
Ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac{a}b+\frac{c}d=\frac{ad+bc}{bd} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 2:

Zitat:

an= n / 2n +1

sicher? Der Rest stimmt dementsprechend auch nicht...

Lg
kgV
Wink

Wink

05.10.2013, 15:10

Rivago

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Wollte es grad nochmal ordentlich schreiben, aber kann nicht mehr editieren. Ich bitte die Moderatoren meinen Eingangspost zu ändern, damit es übersichtlicher aussieht.

Bei der ersten Aufgabe sieht das wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = n - $\begin{eqnarray*} \frac{100}{n} \end{eqnarray*}$

Nun hab ich erstmal $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ aufgestellt.

Das sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ = (n+1) - $\begin{eqnarray*} \frac{100}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Um nun die Monotnie zu untersuchen muss ich ja $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ rechnen.

Das würde dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = (n+1) - $\begin{eqnarray*} \frac{100}{(n+1)} \end{eqnarray*}$ - (n - $\begin{eqnarray*} \frac{100}{n} \end{eqnarray*}$ )

Jetzt komm ich an der Stelle leider nicht weiter. Wie muss ich das denn ausmultiplizieren? Wie sieht dnen mein Hauptnenner aus bzw wie bilde ich den?

Aufgabe 2 sieht so aus:

an = (1; 1/3; 1/5; 1/7; 1/9; ...)

Hier muss ich erst die Bildungsvorschrift bilden und dann auf Monotonie untersuchen.

Ich hab hier schon bei der Bildungsvorschrift Probleme. Sehe die Schritte nicht, wie sich die Folge "erweitert".

durch probieren kam ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann noch $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ bilde und dann Nachfolger - Vorgänger rechne, ausmultipliziere usw.. komm ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{Hauptnenner} \end{eqnarray*}$

Also 1>0 und somit monoton steigend.

05.10.2013, 15:14

Rivago

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Zitat:

Original von kgV
Aufgabe 1:
Bis dato: Alles richtig Freude

Freude

Den Hauptnenner bildest du (auf die brutale Art), indem du alle Terme mit allen Nennern erweiterst (ausgenommen die, die sie schon selber haben), aber das habt ihr doch sicher gemacht, oder?
Ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac{a}b+\frac{c}d=\frac{ad+bc}{bd} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 2:

Zitat:

an= n / 2n +1

sicher? Der Rest stimmt dementsprechend auch nicht...

Lg
kgV
Wink

Wink

Also würde der Hauptnenner bei Aufgabe 1 so aussehen?

$\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot (n) \end{eqnarray*}$

Oder?

Aufgabe 2:

Nein war mir nun irgendwie schon klar dass das nicht stimmen kann. Denn durch die Probe kann es ja nicht stimmen.

Wie kommt man denn da drauf? Es steht ja überall die 1.

05.10.2013, 15:20

kgV

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Der Hauptnenner in Aufgabe 1 stimmt so smile

smile

Weiter im Text: Erweitern

Aufgabe 2:

Zitat:

Es steht ja überall die 1.

Du sagst es... Augenzwinkern

Augenzwinkern

btw: Du kannst auch die ganze Formel in einen LaTeX- Tag packen smile

smile

05.10.2013, 15:31

Rivago

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Aaaah ok, dann ist es ja einfach nur:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Somit kommt am Ende folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{(2n+3) (2n+1)} \end{eqnarray*}$

Also -2<0 und monoton fallend.

Stimmt das so?

Bei Aufgabe 1 hab ich weiterhin meine Probleme.

Wir haben gelernt das man da über Kreuz multiplizieren soll. Aber ich weiß nicht was ich da mit was multiplizieren soll. Dieser blöde Bruch bringt mich durcheinander. unglücklich

unglücklich

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05.10.2013, 15:36

kgV

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Jawoll

Freude

Zuerst mal die Minusklammer auflösen, da fliegen die n's raus. Danach kannst du daran denken, dass gilt: $\begin{eqnarray*} 1=\frac{n(n+1)}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ und die beiden anderen kannst du normal über Kreuz multiplizieren

05.10.2013, 15:39

Rivago

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Welche Minusklammer meinst du denn?

Glaub ich steh hier gerade total aufm Schlauch.

05.10.2013, 15:42

kgV

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Du hast: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n=(n+1-\frac{100}{n+1})-(n-\frac{100}n) \end{eqnarray*}$

Die hintere Klammer auflösen, danach den 1er in der ersten Klammer laut vorigem Post behandeln und den Rest wie gehabt multiplizieren

edit: Abtipp-Vorzeichenfehler verbessert

05.10.2013, 15:59

Rivago

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Zitat:

Original von kgV
Du hast: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n=(n+1+\frac{100}{n+1})-(n+\frac{100}n) \end{eqnarray*}$

Die hintere Klammer auflösen, danach den 1er in der ersten Klammer laut vorigem Post behandeln und den Rest wie gehabt multiplizieren

Du hattest da ein Fehler in der Formel. Da muss ein Minus anstatt ein Plus hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und ich hab mal noch eine Klammer mehr gesetzt, da wird es vllt übersichtlicher.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n=[(n+1)-\frac{100}{(n+1)}]-(n+\frac{100}n) \end{eqnarray*}$

Wenn ich die hintere Klammer auflöse kommt -100 raus, ist das richtig?

05.10.2013, 16:07

kgV

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Hoppala, bitte untertänigst um Verzeihung smile

smile

Deine Frage kann ich nicht ganz nachvollziehen...

$\begin{eqnarray*} n+1-\frac{100}{n+1}-n+\frac{100}n \end{eqnarray*}$ ist das, was nach der Vereinfachung dasteht. Jetzt zu dir... was fliegt da raus?

edit: Vorzeichen Hammer

Hammer

05.10.2013, 16:14

Rivago

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Zitat:

Original von kgV
Hoppala, bitte untertänigst um Verzeihung smile

smile

Deine Frage kann ich nicht ganz nachvollziehen...

$\begin{eqnarray*} n+1-\frac{100}{n+1}-n-\frac{100}n \end{eqnarray*}$ ist das, was nach der Vereinfachung dasteht. Jetzt zu dir... was fliegt da raus?

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{100}{n+1}-\frac{100}n \end{eqnarray*}$

??

Ich bin echt sau dumm in Mathe böse

böse

05.10.2013, 16:17

kgV

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Noch ein Flüchtigkeitsfehler von mir beim Abtippen... Jetzt nehme ich mich zusammen, versprochen

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{100}n-\frac{100}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist richtig smile

smile

Nun noch den 1er verarbeiten und den Rest über Kreuz multiplizieren

PS. Ich werde die Fehler oben verbessern, um späteren Lesern die Verwirrung zu ersparen

05.10.2013, 16:30

Rivago

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Zitat:

Original von kgV
Noch ein Flüchtigkeitsfehler von mir beim Abtippen... Jetzt nehme ich mich zusammen, versprochen

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{100}n-\frac{100}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist richtig smile

smile

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{100}n-\frac{100}{n+1} \end{eqnarray*}$

Wo hast du denn jetzt das + her zwischen der 1 und dem Bruch??

Ich dachte eig ein - ist richtig. Steht ja auch so in der Formel. Oder ändert sich das Vorzeichen irgendwo?

Also muss ich jetzt folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{n(n+1)}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

was dann wäre

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{n²+n}{n²+n} \end{eqnarray*}$

05.10.2013, 16:32

kgV

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Das Minus vor der Klammer und das Minus vor dem Bruch werden zu einem Plus...

Gut, die 1er-Verarbeitung passt auch, die kannst du jetzt in deiner Gleichung einsetzen - jetzt noch die beiden anderen Brüche über Kreuz erweitern, d.h. den ersten mit dem Nenner des zweiten und umgekehrt, dann kannst du dich an die finale Verarbeitung machen

edit: muss mal eben 15 mins weg, bis gleich Wink

Wink

05.10.2013, 16:33

Rivago

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Sorry das hier ist Mist gewesen ...

Kann das gerade echt nicht nachvollziehen wo das Plus herkommen soll. unglücklich

unglücklich

Und warum ist denn 1 = n² + n / n² + n

???

Wo kommt das denn her?

05.10.2013, 16:56

kgV

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Also gut: $\begin{eqnarray*} \cdots {\color{red}-}(n{\color{red}-}\frac{100}n)={\color{red}-1}\cdot(n+({\color{red}-}\frac{100}n))={\color{red}-1}\cdot n + ({\color{red}-1}\cdot ({\color{red}-}\frac{100}n))={\color{green}-}n{\color{green}+}\frac{100}n \end{eqnarray*}$

Und: was ist denn $\begin{eqnarray*} \frac{2}2 \end{eqnarray*}$ ? Was ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{5+3}{5+3}=\frac{8}8 \end{eqnarray*}$ ? Und was ergibt denn $\begin{eqnarray*} \frac{a}a \end{eqnarray*}$ ?

Was muss also überbleiben, wenn du den Term $\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n}{n^2+n} \end{eqnarray*}$ kürzt?

edit: Unvorhergesehene Dinge... böse

böse

muss auf unbestimmte Zeit weg. Es kann gerne jemand übernehmen

05.10.2013, 17:27

Rivago

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Kommt

$\begin{eqnarray*} \frac{n² + n + 100}{(n+1) (n)} \end{eqnarray*}$ >0 monoton steigend

raus?

05.10.2013, 17:42

kgV

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Ja, das ist richtig Freude

Freude

05.10.2013, 18:11

Rivago

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Hm komisch.

Das war eine Lösung von nem Klassenkamerad.

Ich komm auf was anderes und zwar:

$\begin{eqnarray*} \frac{n² - 199n - 100}{(n+1) (n)} \end{eqnarray*}$

Der einzige Unterschied sind die Vorzeichen die bei ihm und bei mir anders sind.

05.10.2013, 18:23

kgV

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Also, dann (ausnahmsweise, weil die Lösung schon gefunden ist, ansonsten wäre das gegen das Prinzip) in Einzelschritten:

Wenn wir hiervon ausgehen:

(1) $\begin{eqnarray*} 1+\frac{100}{n}-\frac{100}{n+1} \end{eqnarray*}$ dann ist

(2) $\begin{eqnarray*} 1=\frac{n^2+n}{n^2+n} \end{eqnarray*}$ also insgesamt

(3) $\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n}{n^2+n}+\frac{100}n-\frac{100}{n+1} \end{eqnarray*}$

(4)Es gilt: $\begin{eqnarray*} n\cdot(n+1)=n^2+n \end{eqnarray*}$ , deswegen erweitern wir die Brüche in (3) wie in (5) dargestellt. Dieses Erweitern kommt einer Multiplikation mit 1 gleich, deswegen dürfen wir das.

(5) $\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n}{n^2+n}+\frac{100}n\cdot\frac{n+1}{n+1}-\frac{100}{n+1}\cdot\frac{n}n \end{eqnarray*}$ Ausmultiplizieren bringt:

(6) $\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n}{n^2+n}+\frac{100n+100}{n^2+n}-\frac{100n}{n^2+n} \end{eqnarray*}$ Nun alles auf einen Bruchstrich:

(7) $\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n+100n+100-100n}{n^2+n}=\frac{n^2+n+100}{n^2+n} \end{eqnarray*}$

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