Eigenvektoren als Spalten der Transformationsmatrix bei Diagonalisierung

05.10.2013, 15:27

Gast1528

Eigenvektoren als Spalten der Transformationsmatrix bei Diagonalisierung

Meine Frage:
Wenn eine Matrix A diagonalisierbar ist, lässt sich ihre Diagonalmatrix schreiben als
D= T^-1 A T ,wobei D die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A auf der Hauptdiagonalen ist.
Es gilt:
Die Spalten der Matrix T bilden eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix A.

Warum ist das so ?

(Und muss ich bei linearer Abbildung die Abbildungsmatrix A bzgl. der kanonischen Basis haben, um sie überhaupt
diagonalisieren zu können ?)

Meine Ideen:
Bei einem beliebigen Basiswechsel irgendeiner Matrix sind die Koordinaten der Spaltenvektoren der Transformationsmatrix T die "Vorfaktoren" einer Linearkombination der neuen Basisvektoren aus den alten.
Dass die Eigenvektoren eine neue Basis bilden weil sie linear unabhängig sind leuchtet mir ein. Nur wieso diese eben ausgerechnet als Spalten von T dastehen ist unklar.

07.10.2013, 18:12

Che Netzer

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RE: Eigenvektoren als Spalten der Transformationsmatrix bei Diagonalisierung

Zitat:

Original von Gast1528
Warum ist das so ?

Sieh $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ als Basiswechselmatrix an und betrachte $\begin{eqnarray*} A=TDT^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Nun fassen wir $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als lineare Abbildung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^n \end{eqnarray*}$ mit der Standardbasis auf. Diese Standardbasis wird durch $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ auf eine Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ abgebildet. Bezüglich dieser Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ hat die zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gehörige lineare Abbildung also Diagonalform: Jeder Basisvektor wird auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet, d.h. die Basisvektoren sind Eigenvektoren.
Nun sind die Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ aber gerade die Spalten von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ .

Etwas formaler (kürzer, aber ohne Anschauung) wäre eine Rechnung der Form
$\begin{eqnarray*} ATe_i=TDe_i=\dotso\,, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ ein Standardeinheitsvektor ist und somit $\begin{eqnarray*} Te_i \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -te Spalte von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ .

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