Mengenbeweis und Surjektivität

05.10.2013, 15:40

KnuddelMud

Mengenbeweis und Surjektivität

Hallo,
also ich muss zeigen, ob eine Inklusion korrekt ist oder nicht. Weiß aber nicht wirklich wie ich da ran gehe.

$\begin{eqnarray*} \left(A ohne B\right) \cup C \subset \left(A \cup C\right) ohne B \end{eqnarray*}$

Muss ich da jetzt einfach nur zeigen, dass der "zweite" Term innerhalb des ersten ist?

Ich habe es jedenfalls mal so aufgespalten:

$\begin{eqnarray*} \left(A ohne B\right) \cup C = \left\{\left(x\in A\wedge x nicht \in B\right)\vee x\in C \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(A \cup C\right) ohne B = \left\{\left(x\in A\vee x \in C\right)\wedge x nicht \in B \right\} \end{eqnarray*}$
Im Endeffekt muss doch das x in "beiden" mengen liegen, also Gleichheit herrschen? Nur wie zeige ich das von hier an?

Und wie zeige ich hier die Sur- und Injektivität:

f: R-> R
x-> -4x+1

Ich behaupte, dass es injektiv ist, da die Werte in der Gerade "auseinandergehen"
Ah ne, ich kann mit + und - 1/4 auf 0 abbilden, also nicht injektiv.
Und surjektiv ebenfalls nicht, da wenn ich unendlich einsetze ich auf -unendlich +1 komme...., wodurch ich nie auf - unendlich komme, zumindest solange ich nicht die Konstante in der Unendlichkeit verschlucke.
Andererseits kann ich ja auch sagen, dass ich zu jedem y-Wert einen x-Wert finde.

Kann ich das irgendwie schöner zeigen?

05.10.2013, 17:35

ollie3

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RE: Mengenbeweis und Surjektivität
hallo,
also zunächst mal: für" A ohne B" schreibt man" A \setminus B".
Und ich nehme mal stellung zur 2. aufgabe: selbstverständlich ist die funktion f(x)=-4x+1
bijektiv, also injektiv und surjektiv. Deine begründungen sind falsch, unendlich ist keine reelle zahl,
und f(-1/4) ist nicht gleich 0.
gruss ollie3

05.10.2013, 18:07

Math1986

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RE: Mengenbeweis und Surjektivität

Zitat:

Original von KnuddelMud
Andererseits kann ich ja auch sagen, dass ich zu jedem y-Wert einen x-Wert finde.

Warum nicht? Du hast die Funktionsgleichung $\begin{eqnarray*} y=-4x+1 \end{eqnarray*}$ , die ist recht einfach nach x umstellbar.

PS: Vielleicht hilft eine Skizze zur Veranschaulichung:

Man erkennt daran, dass die Funktion bijektiv ist,

05.10.2013, 18:11

jimmyt

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@ollie3 :

Ich möchte dir nicht in die Suppe spucken und nicht gegen das Boardprinzip verstoßen, deswegen sage ich nichts zur Aufgabe 2,
sondern möchte nur kurz was zur Aufgabe 1 sagen:

$\begin{eqnarray*} (A \setminus B) \cup C \subset (A \cup C) \setminus B \end{eqnarray*}$

@KnuddelMud :

1.) Ist die Aufgabe wirklich so gestellt?
2.) Wenn ja, dann definiere mir bitte mal echte Teilmenge.
3.) Male dir bitte mal 3 Kreise (für die Mengen A, B und C) mit Schnittmengen auf ein Blatt Papier. Das ganze 2 Mal, einmal für den Term links, und einmal für den Term rechts von dem Teilmengen-Symbol $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ . Anschließend versuche mal, den jeweiligen Bereich zu schraffieren. Und dann ... schau mal, ob das wirklich stimmen kann, das der linke Term echte Teilmenge des rechten Terms ist. Oder ist es nicht eigentlich anders, eventuell umgekehrt, oder ganz anders ...

05.10.2013, 18:18

Math1986

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@jimmyt:

Zitat:

Original von jimmyt
@KnuddelMud :

1.) Ist die Aufgabe wirklich so gestellt?
2.) Wenn ja, dann definiere mir bitte mal echte Teilmenge.
3.) Male dir bitte mal 3 Kreise (für die Mengen A, B und C) mit Schnittmengen auf ein Blatt Papier. Das ganze 2 Mal, einmal für den Term links, und einmal für den Term rechts von dem Teilmengen-Symbol $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ . Anschließend versuche mal, den jeweiligen Bereich zu schraffieren. Und dann ... schau mal, ob das wirklich stimmen kann, das der linke Term echte Teilmenge des rechten Terms ist. Oder ist es nicht eigentlich anders, eventuell umgekehrt, oder ganz anders ...

Das Zeichen $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ wird in der Mathematik nicht einheitlich verwendet, es wird auch im Sinne einer "unechten" (trivialen) Teilmenge verwendet. Gemeint ist es wohl in diesem Sinne.

05.10.2013, 18:27

jimmyt

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Zitat:

Original von Math1986
@jimmyt:
Das Zeichen $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ wird in der Mathematik nicht einheitlich verwendet, es wird auch im Sinne einer "unechten" (trivialen) Teilmenge verwendet. Gemeint ist es wohl in diesem Sinne.

Ok, das wußte ich nicht. Aber, damit keine Unklarheiten bestehen, möchte ich erstmal die Antwort von KnuddelMud abwarten.
Abgesehen davon, obwohl ich nicht zuviel verraten möchte und darf (siehe Boardprinzip), würde selbst bei unechter Teilmenge da etwas nicht stimmen ... Augenzwinkern

05.10.2013, 19:36

KnuddelMud

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Ja, die Aufgabe ist so gestellt.
Beweise, wenn richtig, Gegenbeispiel für falsche Inklusion.
echte -/ Teilmenge haben wir nicht spezifiziert.

Also ist das jetzt wirlich wie eine "Wahrheitstabelle" und ich soll zeigen dass der ganze Term stimmt oder eben nicht?

Wenn ichs mir aufzeichne dann erhalte ich für die linke ein Diagramm indem C B teilweise "überdeckt" und beim Rechten sind die Elemente von B überhaupt nicht darin. Was ich auch schon oben bei der Def. angegeben habe.
Also herrscht mM nach keine Gleichheit zwischen linkem und Rechtem Teil.

Ja, das Bsp habe ich mir auch so aufgezeichnet.
Bin allerdings gerade drauf gekommen, dass ich wohl das Bsp mit einem aus der VO "Vermischt" habe....
Warum darf ich nicht unendlich sagen? Aber wenn das so ist ist es wohl surjektiv, da ich zu jedem x einen y-Wert finde, und dass genau einmal. Und injektiv auch, weil die Gerade eben "auseinander" geht und das eine lineare Gleichung ist.
Ich weiß jetzt nicht wirklich wie ich zeigen soll, dass es so ist. In der VO hat ernur ein Bsp gegeben mit x->x^2 und dafür gesagt f(-1)=f(1) und so Injektivität ausgeschlossen. Und bei Surj., dass es kein -10 gibt.

05.10.2013, 20:12

KnuddelMud

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Okay, ich kanns leider nicht bearbeiten.

Ich habe für die Surjektivität einfach gesagt das:
f(x) = y <-> -4x+1=y und das auf x umgeformt
Dann habe ich das x in die Funktion eingesetzt und es kommt f(y)=y raus. Reicht das schon als Nachweis?

Für die Injektivität habe ich einfach f(-4x1 +1)= f(-4x2 +1) genommen und auf x1=x2 umgeformt.

Passen meine Behauptungen?

05.10.2013, 20:17

jimmyt

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Zitat:

Original von KnuddelMud
Ja, die Aufgabe ist so gestellt.
Beweise, wenn richtig, Gegenbeispiel für falsche Inklusion.
echte -/ Teilmenge haben wir nicht spezifiziert.

Also ist das jetzt wirlich wie eine "Wahrheitstabelle" und ich soll zeigen dass der ganze Term stimmt oder eben nicht?

Wenn ichs mir aufzeichne dann erhalte ich für die linke ein Diagramm indem C B teilweise "überdeckt" und beim Rechten sind die Elemente von B überhaupt nicht darin. Was ich auch schon oben bei der Def. angegeben habe.
Also herrscht mM nach keine Gleichheit zwischen linkem und Rechtem Teil.
...

Genau darauf wollte ich hinaus. Die linke Ergebnismenge ist keine Teilmenge von der rechten Ergebnismenge, ganz gleich ob echte oder unechte Teilmenge.
Für den Beweis bzw. um zu zeigen, dass es nicht stimmt brauchst du nur ein einziges Gegenbeispiel angeben. Z.B.:

$\begin{eqnarray*} A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, C=\{3,4\} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir links:

$\begin{eqnarray*} (A \setminus B) \cup C = (\{1,2\} \setminus \{2,3\}) \cup \{3,4\} = \{1\} \cup \{3,4\} = \{1,3,4\} \end{eqnarray*}$

und rechts:

$\begin{eqnarray*} (A \cup C) \setminus B = (\{1,2\} \cup \{3,4\}) \setminus \{2,3\} = \{1,2,3,4\} \setminus \{2,3\} = \{1,4\} \end{eqnarray*}$

Und das ist offentsichtlich falsch, da das Element $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ aus der linken Ergebnismenge nicht auch Element der rechten Ergebnismenge ist. Somit keine Teilmenge.
Für die Aufgabe 2 sind die anderen beiden zuständig ...

07.10.2013, 16:20

KuddelMud

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Hmm schaut wohl nicht so aus, als ob die hier reinschauen würden :P
Okay, dass heißt dann dass ich mit meiner Mengendefinition eifnach begründen kann, dass die Inklusion falsch ist.

Bei der Surjektivität müsste es doch passen? Wenn ich auf x Umforme und dies in die Gleichung einsetze dann müsste ich doch genau auf die Umkehrabbildung kommen und da y Element von R ist auch so passen?

Bei der Injektivität wiederum habe ich gezeigt, dass wenn ich die gleiche Variable einsetze, ich das gleiche Ergebnis erhalte und so die Inj.- Bedingung erfüllt ist.

07.10.2013, 16:23

Math1986

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Zitat:

Original von KuddelMud
Bei der Surjektivität müsste es doch passen? Wenn ich auf x Umforme und dies in die Gleichung einsetze dann müsste ich doch genau auf die Umkehrabbildung kommen und da y Element von R ist auch so passen?

Bei der Injektivität wiederum habe ich gezeigt, dass wenn ich die gleiche Variable einsetze, ich das gleiche Ergebnis erhalte und so die Inj.- Bedingung erfüllt ist.

Wie sieht denn deine Umkehrabbildung aus?
Wenn eine solche existiert, dann ist die Funktion auch bijektiv. Injektivität muss dann nicht nochmal gezeigt werden.

07.10.2013, 20:39

KuddelMud

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Warum muss dann die Injektivität nicht mehr gezeigt werden??

Ich habe gesagt, dass:
y=-4x+1 -> x= - (y-1)/4
Wenn ich das jetzt in die Funktion einsetze

f(y-1+1) = f(y) = y
Auf Wikipedia steht zwar, dass die Bedingung f(x)=y ist aber kommt ja aufs selbe raus?
So erstelle ich doch eine Umkehrabb. oder? In der VO haben wir das nämlich noch nicht durchgemacht. Im Endeffekt komme ich damit ja genau von der Zielmenge zurück auf die Definitionsmenge.

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