Extremwertproblem im Sachzusammenhang

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palim.palim Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertproblem im Sachzusammenhang
Meine Frage:
Hallo,

ich habe bei zwei Aufgaben Probleme.

Aufgabe 1:
Ein Unternehmen verkauft T-Shirts zum Preis von 15 Euro und macht dabei 8 Euro Gewinn pro T-Shirt. Bei diesem Preis verkauft das Unternehmen täglich 500 T-Shirts. Eine Marktuntersuchung hat ergeben, dass bei einer Preissenkung mehr T-Shirts verkauft werden können. Man geht davon aus, dass pro Euro Ermäßigung 80 T-Shirts mehr pro Tag verkauft werden können
Nun soll berechnet werden, um wie viel Euro man den Preis reduzieren soll, damit der Gewinn maximal wird.

Aufgabe 2:
Aus einem rechteckigen Stück Papier mit der Länge 16cm und der Breite 10 cm werden an den Ecken Quadrate der Länge x herausgeschnitten. Die überstehenden Teile werden uzu einer Schachtel hochgebogen.
Nun soll man den Wert von x so wählen, dass das Volumen maximal wird.

Meine Ideen:
Also, generell sollte man ja zuerst die Extremalbedingung suchen und diese als Formel ausdrücken. Und da hört es bei der ersten Aufgabe schon auf. Ich finde einfach keine Formel, die den Gewinn ausdrücken könnte. Die Produnktionskosten der T-Shirts müssten ja eigentlich 7? sein, wenn das Unternehmen bei einem Preis von 15 Euro 8 Euro Gewinn machen kann. Als Idee war mir nur diese Formel gekommen: , wenn G der Gewinn und x die T-Shirts sind. Nur hätte ich so bloß eine Variable und bisher hatten wir nur Aufgaben mit zwei Variablen. Dort wurde dann aus der Nebenbedingung die zweie Varibale.

Bei der zweiten Aufgabe habe ich das selbe Problem. Wenn ich versuche, die Formel für die Extremalbedingung aufzustellen, habe ich nur eine Variable. Ich dachte, dass das Volumen durch ausgedrückt werden könnte. Aber nun habe ich keine Idee für die Nebenbedingung und außerdem nur eine Variable.


Vielen Dank schonmal.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem im Sachzusammenhang
Zunächst: Es wäre besser, die beiden Aufgaben in zwei verschiedenen Threads abzuhandeln.

Zur ersten Aufgabe: Du brauchst nicht die Produktionskosten zu berücksichtigen.
Stelle einfach eine Gleichung auf, die den Gesamtgewinn beschreibt.

Zur zweiten Aufgabe: Alles richtig. Freude
Da du nur eine Variable hast, brauchst du keine NB. Augenzwinkern
palim.palim Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Ich dachte halt, ein Therad wäre ok, weil beide Aufgaben aus dem selben Themenbereich stammen. Aber nun weiß ich es für das nächste Mal, danke. smile

Zur zweiten Aufgabe:
Ich habe die Funktion nun umgeformt zu:
Die erste Ableitung habe ich gleich null gesetzt und die Ergebnisse und bekommen. Die zweite Ableitung gibt mir für ein relatives Maximum. Leider habe ich bei dieser FUnktion nicht gewusst, wie ich eine Randwertuntersuchung machen soll. Für den Definitionsbereich haben wir sonnst immer die Nullstellen berechnet, dazwischen lag dann der Definitionsbereich. Aber diese Funktion hat drei Nullstellen, nämlich 0, 5 und 8. Ich habe jetzt einfach mal angenommen, dass keine Randextrema vorliegen und und V(x) eingesetzt.

Zur ersten Aufgabe:
Ich glaube, ich stehe auf dem Schlauch. Die Einnahmen wären ja T-Shirts mal Preis, aber für den Gewinn brauche ich doch die Produktionskosten. Mir ist noch aufgefallen, dass ich im ersten Versuch die Stückzahl der verkauften T-Shirts nicht beachtet habe. Aber ich finde einfach keine Lösung. Hast du vielleicht noch einen Tipp? Ich weiß, dass man hier keinen kompletten Rechenweg erfragen soll und das möchte ich auch gar nicht. Aber irgendwie komme ich gerade einfach nicht weiter, tut mir Leid.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zur zweiten Aufgabe:
Für den Definitionsbereich kannst du dir einfach überlegen, wie groß x mindestens und höchstens sein kann. Denke dabei an die Seitenlängen des Papiers.
Du wirst sehen, dass dann tatsächlich nur x = 2 als Lösung übrig bleibt.


Zur ersten Aufgabe:
Zitat:
Die Einnahmen wären ja T-Shirts mal Preis,

Genau. Freude
Mehr brauchst du nicht. Stelle erst mal die Funktionsgleichung dazu auf.
Dann schau nach, wie der Gewinn erhöht werden kann. Entsprechend musst du dann die Funktionsgleichung ergänzen.

smile
palim.palim Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, ok, danke.
Es müsste doch eigentlich 0<x<5 sein, oder?
Und da ,liegt kein Randextremum vor, danke. smile

Also, wenn x die Anzahl der T-Shirts und y der Preis ist, dann wäre es . Wenn ich nun bedenke, dass pro Euro Ermäßigung 80 T-Shirts mehr verkauft werden, hätte ich . Hm, nun bräuchte ich eine Nebenbedingung. Ich weiß, dass der Gewinn pro Shirt bei normalem Preis 8 Euro beträgt. Pro Euro Ermäßigung schrumpft ja auch der Gewinn. Die Produktionskosten bleiben bei 7 Euro. Wie soll ich das einbringen?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

. Freude

Wir können und sollten das aber auch mit Leben füllen, da wir ja konkrete Angaben haben:
Zitat:
Ein Unternehmen verkauft T-Shirts zum Preis von 15 Euro und macht dabei 8 Euro Gewinn pro T-Shirt. Bei diesem Preis verkauft das Unternehmen täglich 500 T-Shirts.

Setze daher lieber G = 15 8 €/T-Shirt · 500 T-Shirts.

Und jetzt kommen die Änderungen ins Spiel:
Zitat:
Man geht davon aus, dass pro Euro Ermäßigung 80 T-Shirts mehr pro Tag verkauft werden können.

Das hast du umgesetzt zu:
Zitat:
.

Hier hast du nicht berücksichtigt, dass diese Ermäßigung ja mehrmals oder auch nur teilweise durchgeführt werden kann.

Am besten setzen wir aber auch erst einmal die konkreten Werte ein:

G=(500 + 80) · (15 8 - 1)

Auf diese Weise berechnest du den Gewinn, wenn du genau 1 € günstiger wirst.
Da wir aber nicht wissen, um wie viel der Preis gesenkt werden muss, um den maximalen Gewinn zu erhalten, muss noch ein Faktor ins Spiel kommen. Ich würde ihn jetzt mal a nennen, da du schon mit x und y gerarbeitet hast.

Überlege dazu, wie die Funktionsgleichung aussieht, wenn du 2 € oder 3 € billiger wirst.

smile

edit: Habe die falsche 15 durch die richtige 8 ersetzt.
 
 
conlegens Auf diesen Beitrag antworten »

15 ist der Erlös, nicht der Gewinn. Dieser liegt bei 8 pro Stück. Mit jedem Euro, der weniger verlangt wird, sinkt der Gewinn um 1 Euro pro Stück , da sich die Kosten pro Stück offenbar nicht ändern. Also muss mit dem Gewinn pro Stück gerechnet werden, nicht dem Erlös. So sehe ich die Aufgabe.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, conlegens Freude , da habe ich eine falsche Zahl eingebaut, ich werde das gleich mal editieren.

(In meiner Rechnung steht es richtig, dummerweise war das schon eine Weile her und ich hatte nicht mehr drauf geschaut...).
palim.palim Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab das jetzt mal mit ein paar Euro ermäßigung durchgespielt. also liegt der Gewinn ohne Ermäßigung bei 4000 Euro. Bei einem Euro Ermäßigung Liegt er bei , bei 2 Euro Ermäßigung wird er wieder weniger.

Jetzt hast du ja gesagt, dass ich einen zusätzlichen Faktor brauche, weil ich ja auch um weniger als einen Euro ermäßigen kann. Es wäre vielleicht logischer, wenn ich berechne, um wie viel Cent ich den Preis erniedrigen kann, damit ein T-Shirt mehr verkauft wird. Meintest du das?
Also, um ein Shirt mehr zu verkaufen, müsste der Preis um 0,0125 Cent gesenkt werden.

Hm, ich hab ein wenig überlegt. Also, wenn ich die zu den 500 T-Shirts + a hinzufüge, muss ich den Preis um senken.
Das würde dann die Funktionsgleichung geben.

Ist das richtig oder dreh ich mich im Kreis?

Edit: Danke dir, conlegens. Wie bekomme ich denn jetzt noch den Gewinn dazu?

Edit 2: Wenn ich die 15 durch 8 ersetzte, geht das dann?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst:
Zitat:
Original von palim.palim
Wenn ich die 15 durch 8 ersetzte, geht das dann?

Ja, das ist richtig und notwendig. Freude

Dann:
Zitat:
Original von palim.palim
Wie bekomme ich denn jetzt noch den Gewinn dazu?

Den berechnest du doch gerade. Augenzwinkern

Zur Rechnung:
Zitat:
Original von palim.palim
Es wäre vielleicht logischer, wenn ich berechne, um wie viel Cent ich den Preis erniedrigen kann, damit ein T-Shirt mehr verkauft wird. Meintest du das?
Also, um ein Shirt mehr zu verkaufen, müsste der Preis um 0,0125 Cent gesenkt werden.
[...]
Ist das richtig oder dreh ich mich im Kreis?

Du kannst es so machen, es ist nicht falsch.
Aber: Wie du sehr richtig sagst, errechnest du auf diese Weise, wie viele T-Shirts maximal verkauft werden können, wenn du den Preis senkst.
Das ist in Ordnung und man kommt über die Gleichung auch auf die Summe, um die der Preis gesenkt werden muss. Dafür ist die Gleichung leichter nachzuvollziehen.

Ich grübele gerade drüber nach, ob du die Rechnung trotz des kleinen Umwegs doch lieber so durchführen solltest. verwirrt


Andererseits solltest du zumindest auch verstehen, wie diese Rechnung eigentlich gemeint ist. Dazu wird die Variable (welche bei dir die zusätzliche Anzahl Shirts dastellt) quasi umgewidmet und steht bei mir für die Anzahl der €, um die der Preis reduziert wird.
Das bedeutet, ich erhöhe die Variable um das 80-fache.
Um es besser unterscheiden zu können, heißt diese Variable jetzt b.

G(b) = (500 + 80·b) · (8 - 1·b)
Wenn ich also b-mal 1 € billiger werde, verkaufe ich b-mal 80 Shirts mehr.


Ich überlasse es dir, wie du weiterrechnen möchtest.

smile
conlegens Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Wege führen zum Ziel. Aber sulos Ansatz ist näher am Text. Ich würde ihn nehmen, weil er direkt mit der Preissenkung um je 1 Euro für zusätzliche 80 Stück arbeitet und so die Sache mathematisch optimal und weniger umständich ausdrückt.
Komisch ist das Ergebnis am Ende. Es kommt bei mir ein nicht-ganzzahliger Wert raus, um den man den Preis senken müsste.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@conlegens

Ich fand die Idee von palim.palim so originell und gut ausgedacht, dass ich sie ungern davon wieder abbringen wollte.
Sie hat ja offensichtlich verstanden, wie die Zusammenhänge sind und wie diese Gleichung aufgestellt werden muss.
Wenn man dann einen anderen Weg durchsetzen will, kommt es oft vor, dass die Fragesteller einem nicht mehr folgen können.

Wie gesagt, beide Wege führen zum Ziel. Wichtig ist nur, dass man nicht den Überblick verliert, was man gerade berechnet, für welche Angabe man also die Variable eingeführt hat.

Und ja, es muss abschließend gerundet werden. Augenzwinkern
palim.palim Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch.

Ich habe jetzt mit solus Ansatz weitergerechnet.
Zuerst habe ich die Klammern aufgelöst und herausbekommen. Die erste Ableitung habe ich gleich null gesetzt und herausbekommen. Da die zweite Ableitung konstant -160 ist, liegt hier ein relatives Maximum. Da der Graph eine Parabel ist, muss das relative Maximum auch das globale Maximum sein.

Wenn ich nun einsetze, bekomme ich heraus, dass man 570 T-Shirts zu einem Preis von 14 Euro verkaufen müsste und dabei einen Gewinn von 7 Euro pro T-Shirt macht.
Der absolute Gewinn liegt dann bei 4061,25 Euro. Aber wo muss ich jetzt runden? Tut mir Leid, ich hab irgendwie den Wurm drin. Danke, dass ihr euch so viel Zeit nehmt.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Das richtig errechnete b = 0,875 ist der Faktor, wie oft du den Preis um 1 € erniedrigen musst.

Mit anderen Worten: Du musst die T-Sthirts um 0,875 € billiger machen.
Da es bei unser Währung aber nur 2 Nachkommastellen gibt, muss eben auf 0,88 € gerundet werden. Augenzwinkern

In der Tat werden so 570 T-Shirts verkauft.

smile
palim.palim Auf diesen Beitrag antworten »

*ditsch* Jau, Recht hast du. Ich hab in meiner Rechnung aus dem 8-b ein 8*b gemacht, daher mein Problem.

Also werden 570 T-Shirts zu einem Preis von 14,13 Euro verkauft. Ger Gewinn liegt bei 4061,25 Euro.

Vielen, vielen Dank euch beiden für eure Zeit und eure Mühen. Jetzt hab ich die Aufgabe verstanden. Dankeschön und einen schönen Samstag noch. smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind wohl eher 14,12 €. Augenzwinkern

Schön, dass du alles verstanden hast. Die Angabe zum Gewinn stimmt auch. Freude


Dir auch noch einen schönen Abend. Wink
palim.palim Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt drauf an, wann man rundet. Augenzwinkern

Okay, dankeschön.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. Wink
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