Median einer Empirischen Verteilungsfunktion bei ungeradem n

06.10.2013, 03:24

TrojanWhoresProcurer

Median einer Empirischen Verteilungsfunktion bei ungeradem n

Meine Frage:
Was ist der Median einer Empirischen Verteilungsfunktion bei ungeradem n?

Meine Ideen:
Schließlich gibt es dann kein x, für das F_n*(x) = 0,5 gilt, und ich finde nur gerade keine eindeutige Antwort dazu.

06.10.2013, 03:33

TrojanWhoresProcurer

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RE: Median einer Empirischen Verteilungsfunktion bei ungeradem n
Und wenn ich schon dabei bin:

Ist folgende allgemeine Antwort für den Median einer Empirischen Verteilungsfunktion bei geradem n in Ordnung?

x~ = x

Ax € [ x(n), x(n+1) )

A ... "für alle"
€ ... Element aus
[ ) ... Intervall, unten abgeschlossen, oben offen

Danke...

06.10.2013, 03:35

TrojanWhoresProcurer

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x(n) ... das n-te Element der der Größe nach geordneten Stichprobe

06.10.2013, 04:40

gorgar

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guckste hier http://www.prof-roessler.de/Dateien/Stat...melsammlung.pdf
findste dort die formel für ungerade n bei 2.2
hab ich übringens hier gefunden http://de.wikipedia.org/wiki/Deskriptive_Statistik

lg

06.10.2013, 10:38

TrojanWhoresProcurer

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Ja, so eine Formel habe ich dazu schon gesehen. Mein Problem war aber, dass der Funktionswert für x_((n+1)/2), also das von der Größe her mittlere Merkmal, aber nicht 0,5 ist...

Jetzt habe ich allerdings eine Quantil-Definition gefunden, die sehr wohl besagt, dass, wenn der y-Wert des Quantils (in dem Fall 0,5) inmitten einer Sprungstelle der Funktion liegt und somit keinem x-Wert direkt zugeordnet ist (wie bei einer Empirischen Verteilungsfunktion mit ungeradem n), dennoch der x-Wert an der Sprungstelle das Quantil ist.

Somit passt es wieder. Letzteres war eigentlich die Erklärung, die mir gefehlt hat.

06.10.2013, 10:40

TrojanWhoresProcurer

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Danke allerdings für die Antwort.

06.10.2013, 10:41

HAL 9000

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Der Median ist synonym für das 0.5-Quantil, wir betrachten gleich mal $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Quantile für beliebige $\begin{eqnarray*} \alpha\in(0,1) \end{eqnarray*}$ :

Um beliebigen Verteilungsfunktionen $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ gerecht zu werden, muss man bei der Quantildefinition etwas weiter ausholen.

Zitat:

Der naive Ansatz wäre:
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Quantil von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , sofern $\begin{eqnarray*} F(x)=\alpha \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist richtig, sofern $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stetig ist. Wenn $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ zudem streng monoton wachsend ist, ergibt sich auch immer ein eindeutiger Quantilwert über die "echte" Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} x=F^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ .

Dummerweise reicht das nicht, da sehr viele Verteilungsfunktionen nicht stetig sind, z.B. alle die von diskreten Zufallsgrößen, und da insbesondere auch alle empirischen Verteilungsfunktionen - letztere haben Sprungstellen der Höhe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ bei allen Stichprobenwerten und sind dazwischen konstant. Also muss man den naiven Ansatz modifizieren:

Zitat:

Tatsächliche Quantildefinition:
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Quantil von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , sofern $\begin{eqnarray*} F(x)\geq \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(x-0)\leq \alpha \end{eqnarray*}$ ist.
(Mit $\begin{eqnarray*} F(x-0) \end{eqnarray*}$ ist der linksseitige Grenzwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gemeint, d.h. $\begin{eqnarray*} F(x-0)=\lim_{t\nearrow x} F(t) \end{eqnarray*}$ .)

Damit ist sichergestellt, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} \alpha\in(0,1) \end{eqnarray*}$ mindestens einen Quantilwert gibt. Das ist dann die exakte mathematische Formulierung für dein "mitten in der Sprungstelle". Augenzwinkern

06.10.2013, 10:47

TrojanWhoresProcurer

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Ja, dass der Median das 0,5-Quantil ist, ist klar, deswegen habe ich da auch ständig vom Funktionswert 0,5 geredet.

Und ja, die Definition ergänzt das dann restlos. Danke.

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