hauptraumzerlegung

06.08.2004, 10:28	zhy	Auf diesen Beitrag antworten »
hauptraumzerlegung hey leute , mir ist das lemma von fitting bekannt ( und verständlich ), leider blicke ich bei dem satz von der hauptraumzerlegung noch nicht ganz durch. man wendet das lemma von fitting auf (lambda*E-f) an (ist doch so oder??? ), wie komme ich darauf, dass dann die einzelnen blöcke nilpotent sind (wenn ich lambda einsetze) und regulär, wenn ich eine reelle zahl ungleich lambda einsetze? ausserdem ist mir noch nicht ganz klar, wie die zerlegung in die blöcke von statten gehen soll. es wär wirklich nett, wenn mir da eine(r) bei helfen könnte!!!! danke lg, zhy
06.08.2004, 22:46	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zhy, So eine Frage soll nicht unbeantwortet bleiben, also bitte ich dich, den gesamten Satz zu zitieren, den du beweisen willst. Es wäre auch hilfreich eine grobe Skizze des Beweises zu haben, damit man dir an eventuellen Stellen konkreter helfen kann. Lieben Gruss, Irrlicht (die nicht eindeutig erkennen kann, was genau du mit "Satz über die Hauptraumzerlegung" meinst und deshalb nichts Hilfreiches schreiben kann)
07.08.2004, 11:24	zhy	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt, ich hab das wohl etwas unglücklich formuliert ( mein prof hat immer so den eindruck gemacht, dass dieser satz, dass wichtigste überhaupt ist g, deswegen hab ich gedacht der ist allgemein bekannt, sorry). der satz lautet so: f ist element eines endomorphismus vom K^n. k algebraisch abgeschlossen, lambda1....lamdaR Eigenwerte von f mit alg. Vielfachheiten m1...mR. d1...dR: ker(lambda1-f)<(ich schreibe das zeichenin diesem satz im sinne von teilmenge) < ... < ker(lambda1-f)^d1 = ker(lambda1-f)^(d1+1) = ... andere lambdai ebenso Hi:=ker(lambdai-f)^(di). Dann gilt: 1.K^n=H1 + (hier ist immer die direkte summe gemeint) + H2 + ...+ Hr 2.Ist Vi1...visi Basis von Hi, so gilt: si=mi 3.ist B=(v11...v1m1 v21...vrmr) , dann: M(matrix bezüglich B)= ( ich weiß nicht wie man hier matritzen dastellen kann, deswegen beschreibe ich sie) es ist praktisch eine diagonalmatrix, bloß sind die diagonalelemente quadratische blöcke A1....Ar. 4. Eigenschaften der Ai: Ai ist eine mimi matrix, char. polynom von Ai ... (t-lambdai)^mi (lambdai-Ai) ist nilpotent my ungleich lamdai => my-Ai regulär di<=mi das war der satz so wie wir ihn aufgeschrieben haben. 1-3 haben wir nicht wirklich bewiesen ( sie sind ja eh ziemlich klar) der beweis vom 4. sieht in etwas so aus: ( ich glaube er will zeigen, dass das lemma von fitting auch für lambdaE-f) gilt ) er schreibt zuerst dass ein d1<n existiert sodass ker(lambda1-f < ... < ker(lambda1-f)^d1 = ker(lambda1-f)^(d1+1) = ... weil lamda eigenwert ist folgt daraus, dass ker(lamda1-f)^d ungleich {0} ist. H1:= ker(lambda1-f)^d U1:= Im(lambda1-f)^d H1, U1 invariant unter lambda1-f (bisi hier hin hab ich alles original getreu aufgeschrieben, dann kommt der beweis, dass sie invariant sind.) ( jetzt kommt das stück wo er zeigt (?), dass lambda1-A1 nilpotent ist) Bei geeigneter Basis D: M(zur basis D)(f)= A1 0 0 B1 ( die klammern fehlen von der matrix, und wenn ich das absende verzieht es sich immer, die 0 müsste unter A1 stehen und B1 unter der 0, bei den späteren matritzen passiert es auch immer, ich weiß nicht wie ich das ändern kann) M(zur basis D)(lambda1-f)= lambda1- A1 0 0 lambda1-B1 (lambda1-A1) nilpotent char. Pol. det(t-lambda1+A1) =: t^(m1) char. Pol. von M(zur basis C)(t-lambda1): t^(m1) * char. Pol. (lambda1-B1) det(s-A1)=det(s-lambda1+lambda1-A1) = det (-(t-lambda1+A1)) =t^(m1)*(-1)^(m1) =(s-lambda1)^(m1) (die "rechnung" ist mir auch noch klar, ab jetzt verstehe ich es nicht mehr) => Fitting mit lamba2 A1 0 0 0 A2 0 0 0 B2 (A1,A2,B2 liegen auf der diagonalen, ansonsten Nullen) ( wie sollen A1 und A2 aussehen, ist A1 der ker und A2 das bild oder soetwas in der art?wie wird das weiter zerlegt etc.? ) (lambda2-A2)^(d2)=0 det (s-A2)=(s-lambda2)^(m2) => A1 0 .................................... 0 0 A2 0..............................0 . . . . . . . . 0 0 0 Ar (A1...Ar auf der Diagonalen, ansonsten Nullen) (Wo ist das B1 abgeblieben, warum fällt das weg?) lambdai-Ai nilpotent det (s-Ai)=(s-lambdai)^(mi) jetzt zeigt er noch das di<=mi ist und wenn my ungleich lambda ist my-Ai regulär Das war der komplette beweis den wir dazu aufgeschrieben haben. ich hoffe wirklich du kannst mir helfen!!!
09.08.2004, 01:02	müdes Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zhy, Ich hab eben dein Posting gesehen und danke dir schonmal für die ausführliche Beschreibung. Ich hab es schon durchgelesen, werde mir wohl aber erst morgen (bzw. heute) Gedanken darüber machen können. Ich editiere dann diesen Beitrag. Liebe Grüsse, Irrlicht
10.08.2004, 23:18	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zhy, Ich habe mir gestern den Beweis durchdacht und ich kann dein Problem durchaus nachvollziehen. So einfach, wie es in dem Beweis dargestellt wird, ist das für meine Begriffe nicht. Wie ich dich verstanden habe, liegt dein Problem nur daran, dass du gerne wissen würdest, wie die A_2 bis A_r genau aussehen. Du weisst, wie das A_1 aussieht. Das A_2 bekommt man, indem man den Beweis mit g := f_{U_1} ("f eingeschränkt auf U_1") und seinen Eigenwert lambda_2 wiederholt. Induktiv erhält man dann die ganzen A_i's. Dir wird klar sein, dass lambda_1 kein Eigenwert von g ist, aber g den Eigenwert lambda_2 besitzt. Ich muss aber zugeben, dass mir nicht klar ist, warum der Hauptraum von g zum Eigenwert lambda_2 "gleich" H_2 ist. Mein Prof ging an dieser Stelle einen anderen Weg. Er nahm einen Eigenwert lambda_i nach dem anderen und verwendete das Lemma von Fitting analog zu deinem Beweis bishin zu der Matrixdarstellung (A_i 0 \| 0 B_i). Die geeigneten Teile deiner Basen D_i die jeweils für die A_i zuständig sind, kann man wegen deinem Punkt (1) zu einer Basis B zusammensetzen, sodass die darstellende Matrix von f bzgl. der Basis B so aussieht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} A_1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & A_r \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wird's damit klarer? Liebe Grüsse, Irrlicht
16.08.2004, 16:56	zhy	Auf diesen Beitrag antworten »
danke irrlicht, du hast mir wirklich geholfen. ich hab mir den beweis nochmal angeschaut und bin drauf gekommen, dass ich einen kleinen aber kapitalen denkfehler hatte und ich anscheinend zum teil etwas falsch abgeschrieben habe. mit dem ansatz von deinem professor konnte ich nicht soviel anfangen, da ich nicht weiss was mit (A_i 0 \| 0 B_i). gemeint ist.
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