Negation konstante Funktion

06.10.2013, 14:42

Nighel123

Negation konstante Funktion

Moin,

wie negiere ich die Aussage $\begin{eqnarray*} \forall x,y\in D \ gilt \ f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$

Das heißt doch $\begin{eqnarray*} \forall x \in D \wedge \forall y\in D \ gilt \ f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$

Ich hätte jetzt das geschrieben: $\begin{eqnarray*} \exists x \in D \vee \exists y \in D \ so \ dass, \ f(x)\neq f(y) \end{eqnarray*}$ aber das macht ja keinen Sinn. Wie kommt man auf Negationen bei sowas?

06.10.2013, 15:13

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion
Nichts von dem, was du da aufschreibst, ergibt Sinn! Informier dich über die Verwendung von $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \land \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lor \end{eqnarray*}$ .
Wenn du nicht weißt, welche Syntax ein bestimmtes Symbol verlangt, vermeide dessen Gebrauch.

06.10.2013, 16:51

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion
die erste Zeile hab ich von hier http://de.wikipedia.org/wiki/Konstante_Funktion (unter der Überschrift "Definition und Charakterisierung").
(darf ich die Worte " für alle " nicht einfach mit dem Quantor $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ ersetzen?)

und ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann nicht konstant ist, wenn die Bildmenge mindestens zwei Elemente enthält.

Bei Wikipedia steht auch noch unter Definition und Charakterisierung, dass die Definition der konstanten Funktion äquivalent ist zu:

Die Bildmenge der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ besteht höchstens aus einem Element.
Davon die Negation zu zeigen wäre wohl einfacher aber ich bekomme es nicht ganz die Äquivalenz zu zeigen.

Versuch:

$\begin{eqnarray*} Sei \ f:A \rightarrow B \ eine \ Funktion \ zwischen \ zwei \ Mengen. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} " \Rightarrow " \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ Es \ gelte \ \forall \ x,y\in A \ gilt: \ f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Also \ fuer \ alle \ x \in A \ gilt: \ \ f(x)=c:=f(y) \ mit \ y\in A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Also \ f(A):=\left\{ f(x) : x \in A \right\}= \left\{c \right\} \ da \ gleiche \ Elemente \ in \ einer \ Menge \ zu \ einem \ zusammengefasst \ werden. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} " \Leftarrow " \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Sei \ f(A)=\left\{c \right\} \ vorgegeben, \ wobei \ c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Also \ f(x)=c \ fuer \ alle \ x \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Also \ f(y)=c \ fuer \ alle \ y \in A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Also \ fuer \ alle \ x,y \in A gilt: f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$

06.10.2013, 16:59

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion

Zitat:

Original von Nighel123
die erste Zeile hab ich von hier http://de.wikipedia.org/wiki/Konstante_Funktion (unter der Überschrift "Definition und Charakterisierung").

Nein, hast du nicht.

Zitat:

darf ich die Worte " für alle " nicht einfach mit dem Quantor $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ ersetzen?

Nein! Du darfst auch nicht jedes "und" in einem Satz durch $\begin{eqnarray*} \land \end{eqnarray*}$ ersetzen.
Wie gesagt: Informier dich darüber, wie diese Symbole funktionieren.

Zitat:

und ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann nicht konstant ist, wenn die Bildmenge mindestens zwei Elemente enthält.

Aha.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} wobei \ c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wieso das? (und wieso schreibst du die Textpassagen nicht ganz normal als Text?)
Ansonsten sieht der Beweis ganz gut aus.

06.10.2013, 20:11

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion

Zitat:

Original von Che Netzer

(und wieso schreibst du die Textpassagen nicht ganz normal als Text?)

Wieso sollte ich?

Wie würde ich denn die Negation von

$\begin{eqnarray*} Sei \ f:A \rightarrow B \ eine \ Funktion \ zwischen \ zwei \ Mengen. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ Es \ gelte \ f(x)=f(y) \ fuer \ alle \ x,y\in A \end{eqnarray*}$

Gruß Nickel

06.10.2013, 20:16

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion
"Es gebe $\begin{eqnarray*} x,y\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)\neq f(y) \end{eqnarray*}$ "

06.10.2013, 20:42

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion
Was genau ist denn mit " $\begin{eqnarray*} fuer \ alle \ x,y\in A : f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ " gemeint?

also ich meine explizit $\begin{eqnarray*} fuer \ alle \ x,y\in A: ... \end{eqnarray*}$

Ist das das selbe wie $\begin{eqnarray*} \forall \ x \in A \wedge \forall \ y \in A : .... \end{eqnarray*}$

06.10.2013, 20:53

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion

Zitat:

Original von Che Netzer
Informier dich über die Verwendung von $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \land \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lor \end{eqnarray*}$ .

Zur Frage: Das heißt, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gleich sind.

06.10.2013, 21:34

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion
Zum Beweis hätte ich noch einmal eine Frage. Da steht ja:

Zitat:

Original von Nighel123
Die Bildmenge der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ besteht höchstens aus einem Element.

Wenn sie aus keinem Element besteht, dann hätte man ja die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow \emptyset \end{eqnarray*}$

Wäre dann die aussage $\begin{eqnarray*} fuer \ alle \ x,y\in A : f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$

überhaupt sinnvoll?

06.10.2013, 21:37

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon A\to\emptyset \end{eqnarray*}$ kann es nicht geben, solange $\begin{eqnarray*} A\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ .
Nimmt eine Funktion keinerlei Werte an, so muss der Definitionsbereich leer sein. Und dann ist die Funktion völlig sinnlos.

06.10.2013, 21:42

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion
Ok danke!

Hast du eine Empfehlung wo man sich über Quantoren informieren könnte? Hab in Analysis 1 von Harro Heuser und Otto Forster jetzt reingeguckt. Da ist das ganze relativ kurz gehealten.

06.10.2013, 21:47

DaCaeser

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion
Mh,

also ich würde an die Aufgabe so ran gehen. Sei $\begin{eqnarray*} f:M\to N \end{eqnarray*}$ eine Konstante Funktion. Das heißt es existiert ein $\begin{eqnarray*} c\in N \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x)=c \end{eqnarray*}$ . Die Negation wäre dann entsprechend: es existiert kein $\begin{eqnarray*} c\in N \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x)=c \end{eqnarray*}$ .

-----

Um dich über Quantoren zu Informieren solltest du ein Blick in das Buch

"Einführung in die mathematische Logik" von Ebbinghaus werfen

06.10.2013, 22:05

Nighel123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Negation konstante Funktion
ok danke!

Neue Frage »

Antworten »

Negation konstante Funktion

Verwandte Themen