Schwaches Gesetz der großen Zahl

06.10.2013, 22:40	DaCaeser	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwaches Gesetz der großen Zahl Meine Frage: Um mich auf meine PRüfung in Stochastik I vorzubereiten siteze ich gerade an meinen Übungsaufgaben aus 2011 (Ich weiß aber wenn man Dinge schieben kann :o) und da ist eine Aufgabe Sei $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge unabhängiger, zum Parameter $\begin{eqnarray} \alpha>0 \end{eqnarray}$ exponentialverteilter Zufallsvariablen. Zeigen Sie, dass fast sicher gilt: $\begin{eqnarray} \limsup_{n\to\infty}\frac{X_n}{\log(n)}=\frac{1}{\alpha} \end{eqnarray}$ und entsprechend $\begin{eqnarray} \liminf_{n\to\infty}\frac{X_n}{\log(n)}=0. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Für den ersten Teil könnte ich mir zwei Wege denken, zum einen wäre das wir geben ein $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ vor und definieren dafür $\begin{eqnarray} A_n(\varepsilon):=\{\sup_{k\leq n}\left\|\frac{X_n}{\log(n)}-\frac{1}{\alpha}\right\|>\varepsilon\} \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} A(\varepsilon)=\lim_{n\to\infty}A_n(\varepsilon) \end{eqnarray}$ und damit folglich $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(A(\varepsilon))=\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(A_n(\varepsilon)) \end{eqnarray}$ , gilt nun $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(A(\varepsilon))=0 \end{eqnarray}$ so würde durch Komplementbetrachtung die Behauptung folgen. Durch Abschätzung von $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(A_n(\varepsilon)) \end{eqnarray}$ könnte man sich mit der Tschebyscheff-Ungleichung Helfen. Dabei habe ich jedoch ein Problem $\begin{eqnarray} \mathbb{V}(\frac{X_n}{\log(n)}-\frac{1}{\alpha}) \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Die andere Idee würde über das schwache Gesetz der Großen Zahl laufen, hierbei müsste man irgendwie $\begin{eqnarray} exp(.) \end{eqnarray}$ auf den Term anwenden, denke aber er das dieser Weg weniger Zielführend ist. beim Zweiten Teil könnte man analog verfahren, betrachtet hier jedoch die Mengen $\begin{eqnarray} B_n(\varepsilon):=\{\inf_{k\leq n}\left\|\frac{X_n}{\log(n)}\right\|>\varepsilon\} \end{eqnarray}$ Was meint ihr zu meiner Idee, bin ich dabei Licht ins Dunkel der Konvergenzsätze zu bringen oder vollkommen auf dem Holzweg? Danke für Tipps und Anregungen.
06.10.2013, 23:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deinen Weg nicht, insbesondere was die Definition von $\begin{eqnarray} A_n(\varepsilon) \end{eqnarray}$ mit dem angestrebten $\begin{eqnarray} \limsup \end{eqnarray}$ zu tun hat - solle da nicht eher $\begin{eqnarray} \sup\limits_{k\geq n} \end{eqnarray}$ statt wie bei dir $\begin{eqnarray} \sup\limits_{k\leq n} \end{eqnarray}$ stehen? Und selbst dann: Wie stellst du dir die Anwendung der Tschebyscheff-Anwendung hier im Detail vor? Und irgendwie ignorierst du vollkommen die vorausgesetzte Exponentialverteilung - bist du der Meinung, dass die unwichtig ist? ----------------------------- Es bezeichne $\begin{eqnarray} A_n(t) = \left[ \frac{X_n}{\log(n)} \geq t \right] \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} A(t)=\limsup_{n\to \infty} A_n(t) \end{eqnarray}$ . Wir betrachten nun $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^{\infty} P(A_n(t)) = \sum_{n=2}^{\infty} \exp(-\alpha\log(n)t) = \sum_{n=2}^{\infty} n^{-\alpha t} \end{eqnarray}$ , um Borel-Cantelli anwenden zu können: Diese Reihe ist konvergent für $\begin{eqnarray} \alpha t > 1 \end{eqnarray}$ und divergent sonst. Nach Borel-Cantelli-Lemma folgt somit $\begin{eqnarray} P(A(t)) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, t> \frac{1}{\alpha} \\ 1 & \;\mbox{für}\, t\leq \frac{1}{\alpha} \end{cases} \end{eqnarray}$ Der fehlende Baustein ist dann noch das Ereignis-Sandwich $\begin{eqnarray} A(t) \subseteq \left[ \limsup_{n\to\infty} \frac{X_n}{\log(n)} \geq t \right] \subseteq A(t-\varepsilon) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ , über das man sicher eine Weile nachdenken muss - ging mir jedenfalls so. P.S.: Ich hatte gestern abend was wesentlich "längeres" im Sinn, bevor mir aufging, dass ich da nur Borel-Cantelli nachgespielt hatte. EDIT (9.10.2013): Anscheinend hat da einer das Interesse an der Aufgabe verloren, schade. Kann man nichts machen, war trotzdem interessant.

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