Gleichung mit zwei Wurzeln auflösen

07.10.2013, 08:57

Berndg

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Gleichung mit zwei Wurzeln auflösen

Meine Frage:
Ich habe diese Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1}- 2= \sqrt{x-11} \end{eqnarray*}$ .Ich soll x berechnen.

Meine Ideen:
Ich stelle aldo um mit /+2 /-\sqrt{x-11} sodass ich die Wurzeln auf einer Seite habe und nur die Zahl auf der anderen. Dann quadriere ich, woraus sich (aus meiner Sicht) auf der rechten (zahlen-) Seite die 4 ergibt und sich auf der anderen Seite ein Binom. Wenn ich dann soweit zusammenstreiche ergibt sich ein Ergebnis von X=-6... Das Stimmt aber bei der Probe nicht :-( Wo liegt der Fehler? Ich versuche nun mal ein Bild da sieht man besser was ich mache und wo ich dann hänge.

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

07.10.2013, 09:02

Iorek

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Was streichst du denn zusammen und wie rechnest du dann weiter? Steht bei dir in der Klammer $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1}-\sqrt{x-11} \end{eqnarray*}$ oder soll das ein Malzeichen sein?

07.10.2013, 09:32

Berndg

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Also bei mir steht genau das was du geschrieben hast. Sorry aber mit dem Formeleditor klappt das bei mri hier nicht. Also zwischen den beiden Wurzeltermen steht ein Minus (-). Ich habe dann hier nicht mehr weitergemacht, weil wenn ich es dann durchziehe kommt meines Erachtens nach hier der Fehler zustande... Ich denke bis hierhin sollte es passen oder?

07.10.2013, 09:36

Iorek

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Nein, bis hier passt das dann nicht. Die zweite binomische Formel lautet ja $\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ , also muss zwischen den Wurzelausdrücken ein Malzeichen stehen. Wenn du das korrigiert hast, musst du noch einmal alles sortieren und quadrieren.

07.10.2013, 09:42

Berndg

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Ok... Aber dann stehe ich weiterhin auf dem Schlauch.. Wohin wandert dann das Minus (-)? so? $\begin{eqnarray*} (\sqrt(x+1))-((\sqrt(x-11)) \end{eqnarray*}$ oder so? $\begin{eqnarray*} (\sqrt(x+1))(-(\sqrt(x-11)) \end{eqnarray*}$

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

07.10.2013, 09:58

Iorek

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Das Minus wandert nirgendwo hin.

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ , hier ist $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{x-11} \end{eqnarray*}$ , das muss jetzt nur noch eingesetzt werden.

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07.10.2013, 10:18

Berndg

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Ich komm da nicht dahinter... Bin 10Jahre aus der Schule raus... Ein paar Rechenregeln sind mir wohl entfallen... Wieder ein Bild um meine Rechenschritte zu visualisieren. Mittlerweile fuchst es mich ganz schön... Lösung steht immer noch aus.... Möchte ja ein erneutes Wurzel ziehen vermeiden...

07.10.2013, 10:55

klarsoweit

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RE: Gleichung mit zwei Wurzeln auflösen
Bis hier ist es noch richtig:

$\begin{eqnarray*} x+1 -2 \cdot \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-11} + x - 11 = 4 \end{eqnarray*}$

Dann hast du die beiden x nicht zusammengefaßt. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} 2x - 10 -2 \cdot \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-11} = 4 \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du den Term 2x - 10 auf die rechte Seite bringen und dann nochmal quadrieren.

EDIT: @Iorek: ich dachte, du bist nicht anwesend. Ich bleibe dann wieder raus.

07.10.2013, 10:58

Iorek

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@klarsoweit, es gab ein kleines Wasserunglück bei uns in der Küche. Du kannst hier gerne weitermachen, dann kann ich weiter wischen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2013, 11:08

Berndg

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Also dieses Forum ist Klasse! Danke an euch beide und viel Erfolg beim Rohrbruch bekämpfen! Ja der Fehler ist nun doch etwas eindeutiger mit dem zweiten X :-) Ich versuchs nun mit neuem Mut weiter... Bsi später!

07.10.2013, 12:32

Berndg

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Also leider hab ich wohl wieder irgendwo nen Fehler drin... Ich glaube beim erneuten quadrieren hab ich zu viel quadriert oder? ich dachte mir ich muss alles quadrieren links wie rechts um die wurzeln zu verlieren... richtig?

07.10.2013, 12:35

Berndg

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oder habe ich den Term 2x-10 falsch auf die andere Seite gebracht? ich habe ihn mit -2x+10 rüber gebracht... richtig?

07.10.2013, 12:56

klarsoweit

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Wenn man in der 3. Zeile die rechte Seite noch etwas zusammenfaßt, erhält man 14 - 2x. Und auch hier muß man beim Quadrieren wieder die 2. binomische Formel beachten. smile

smile

07.10.2013, 17:15

Berndg

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So nun hab ich es geschafft!! Danke!! Is echt doof wenn man es eigentlich kann aber dann so Leichtsinnsfehler reinhaut... Aber die beiden Mathe-Helfer haben nicht locker gelassen :-) Hier jetzt meine letzte Fassung die auch nach dem letzten Tipp sofort funktioniert hat als es mir wie Schuppen von den Augen fiel:-)

07.10.2013, 17:31

HAL 9000

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Es ist übrigens nicht immer die beste Idee, die beiden x-Wurzeln vor dem Quadrieren auf die selbe Gleichungsseite zu packen. Auf unterschiedlichen Seiten hätte es hier so ausgesehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} = \sqrt{x-11}+2 \qquad \Big| \; ()^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+1 = (x-11)+4\sqrt{x-11}+4 \qquad \Big| \; -x+7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8 = 4\sqrt{x-11} \qquad \Big| \; :4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 = \sqrt{x-11} \qquad \Big| \; ()^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 = x-11 \qquad \Big| +11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 15 = x \end{eqnarray*}$

Sieht m.E. etwas entspannter aus als die vielen quadratischen Terme oben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Unter Beachtung dessen, dass oben vor jedem der beiden Quadrierungsschritte offensichtlich auf beiden Gleichungsseiten jeweils nichtnegative Zahlen stehen, ist das auch eine in ihrer Gesamtheit äquivalente Umformung, so dass eine Probe eigentlich sogar unnötig ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2013, 17:41

Berndg

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist übrigens nicht immer die beste Idee, die beiden x-Wurzeln vor dem Quadrieren auf die selbe Gleichungsseite zu packen. Auf unterschiedlichen Seiten hätte es hier so ausgesehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} = \sqrt{x-11}+2 \qquad \Big| \; ()^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+1 = (x-11)+4\sqrt{x-11}+4 \qquad \Big| \; -x+7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8 = 4\sqrt{x-11} \qquad \Big| \; :4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 = \sqrt{x-11} \qquad \Big| \; ()^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 = x-11 \qquad \Big| +11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 15 = x \end{eqnarray*}$

Sieht m.E. etwas entspannter aus als die vielen quadratischen Terme oben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Unter Beachtung dessen, dass oben vor jedem der beiden Quadrierungsschritte offensichtlich auf beiden Gleichungsseiten jeweils nichtnegative Zahlen stehen, ist das auch eine in ihrer Gesamtheit äquivalente Umformung, so dass eine Probe eigentlich sogar unnötig ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Angeber:-) Wie gesagt, ich bin froh das ich es auf dem schwierigen Weg geschafft habe... Soviel hab ich auch nicht mehr parat seit dem ich vor knapp 13Jahren aus der Realschule raus bin:-) Aber danke für den Denkanstoß! Das mit der Probe war für mich lediglich Mittel zum Zweck um meine vielen "Lösungen" zu verifizieren, die sich da auf den verzweifelten 5 Doppelseiten angehäuft hatten:-)

07.10.2013, 17:43

HAL 9000

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Da will man einen Hinweis geben, wie die Arbeit ganz beträchtlich reduziert werden kann, und wird dann noch dumm angemacht. Ja, Undank ist der Welt Lohn. Teufel

Teufel

Außerdem hast du mich auch noch mein P.S. falsch verstanden: Ich kritisiere durchaus nicht deine Probe - es ist sogar nötig eine zu machen, wenn nicht alle Umformungsschritte zweifelsfrei äquivalent sind!

07.10.2013, 18:15

Berndg

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Nene war gar keine Kritik und ich habe deinen Hinweis auch genau richtig verstanden und sofort gegengerechnet :-) Mein Satz tropfte nur so vor Ironie:-) Also danke nochmal für deine wirklich guten Tipp!! Ich bin dankbar für jeden Denkanstoß nach so langer Zeit ohne Mathe-Herausforderung.

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